Grupa Mathieu M ₂₂

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Mathieu M ₂₂ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 = 443520

≈ 4 × 10 ⁵ .

Historia i właściwości

M ₂₂ jest jedną z 26 grup sporadycznych i została wprowadzona przez Mathieu ( 1861 , 1873 ). Jest to 3-krotna przechodnia grupa permutacji na 22 obiektach. Mnożnik Schura z M ₂₂ jest cykliczny rzędu 12, a zewnętrzna grupa automorfizmów ma rząd 2.

W literaturze matematycznej istnieje kilka błędnych stwierdzeń dotyczących dwuczęściowej części mnożnika Schura. Burgoyne i Fong (1966) błędnie stwierdzili, że mnożnik Schura M ₂₂ ma rząd 3, aw sprostowaniu Burgoyne i Fong (1968) błędnie stwierdzili, że ma rząd 6. Spowodowało to błąd w tytule artykułu Janko (1976 ) ogłaszający odkrycie grupy Janko J4 . Mazet (1979) wykazał, że mnożnik Schura jest w rzeczywistości cykliczny rzędu 12.

Adem i Milgram (1995) obliczyli 2-częściową część całej kohomologii _M22 .

Reprezentacje

M ₂₂ ma 3-przechodnią reprezentację permutacyjną na 22 punktach, ze stabilizatorem punktowym grupę PSL ₃ (4), czasami nazywaną M ₂₁ . To działanie ustala system Steinera S(3,6,22) z 77 heksadami, których pełną grupą automorfizmów jest grupa automorfizmów M ₂₂ .2 z M ₂₂ .

M ₂₂ ma trzy reprezentacje permutacji rangi 3 : jedną na 77 heksadach ze stabilizatorem punktowym 2 ⁴ : A ₆ i dwie akcje rangi 3 na 176 heptadach, które są sprzężone pod zewnętrznym automorfizmem i mają stabilizator punktowy A ₇ .

M ₂₂ jest stabilizatorem punktowym działania M ₂₃ na 23 punkty, a także stabilizatorem punktowym działania rangi 3 grupy Higman -Sims na 100 = 1 + 22 + 77 punktów.

Potrójna osłona 3.M ₂₂ posiada 6-wymiarowe wierne odwzorowanie na polu z 4 elementami.

6-krotna osłona M ₂₂ występuje w centralizatorze 2 ¹⁺¹² .3.(M ₂₂ :2) inwolucji grupy Janko J4 .

Maksymalne podgrupy

Nie ma odpowiednich podgrup przechodnich we wszystkich 22 punktach. Istnieje 8 klas koniugacji maksymalnych podgrup M ₂₂ w następujący sposób:

PSL(3,4) lub M ₂₁ , zamówienie 20160: stabilizator jednopunktowy
2 ⁴ : A ₆ , rząd 5760, orbity 6 i 16

Stabilizator bloku W ₂₂

A ₇ , rząd 2520, orbity 7 i 15

Istnieją 2 zestawy, po 15 każdy, prostych podgrup rzędu 168. Te jednego typu mają orbity 1, 7 i 14; inne mają orbity 7, 8 i 7.

A ₇ , orbity 7 i 15

Koniugat z poprzednim typem w M ₂₂ :2.

2 ⁴ :S ₅ , rząd 1920, orbity 2 i 20 (5 bloków po 4)

Dwupunktowy stabilizator w grupie sekstetów

2 ³ :PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8 i 14
M ₁₀ , rząd 720, orbity 10 i 12 (2 bloki po 6)

Jednopunktowy stabilizator M ₁₁ (punkt na orbicie 11)

Nierozdzielone rozszerzenie grupy postaci A ₆ .2

PSL(2,11), rząd 660, orbity 11 i 11

Inny jednopunktowy stabilizator M ₁₁ (punkt na orbicie 12)

Klasy koniugacji

Istnieje 12 klas koniugacji, chociaż dwie klasy elementów rzędu 11 są połączone w ramach zewnętrznego automorfizmu.

Zamówienie	Liczba elementów	Struktura cyklu
1 = 1	1	1 ²²
2 = 2	1155 = 3 · 5 · 7 · 11	1 ⁶ 2 ⁸
3 = 3	12320 = 2 ⁵ · 5 · 7 · 11	1 ⁴ 3 ⁶
4 = 2 ²	13860 = 2 ² · 3 ² · 5 · 7 · 11	1 ² 2 ² 4 ⁴
4 = 2 ²	27720 = 2 ³ · 3 ² · 5 · 7 · 11	1 ² 2 ² 4 ⁴
5 = 5	88704 = 2 ⁷ · 3 ² · 7 · 11	1 ² 5 ⁴
6 = 2 · 3	36960 = 2 ⁵ · 3 · 5 · 7 · 11	2 ² 3 ² 6 ²
7 = 7	63360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 11	1 7 ³	Równoważnik mocy
7 = 7	63360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 11	1 7 ³	Równoważnik mocy
8 = 2 ³	55440 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 7 · 11	2·4·8 ²
11 = 11	40320 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7	11 ²	Równoważnik mocy
11 = 11	40320 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7	11 ²	Równoważnik mocy

Zobacz też

Wykres M ₂₂

Adem, Alejandro ; Milgram, R. James (1995), „Kohomologia grupy Mathieu M₂₂”, Topologia , 34 (2): 389–410, doi : 10.1016 / 0040-9383 (94) 00029-K , ISSN 0040-9383 , MR 1318884
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966), „Mnożniki Schura grup Mathieu” , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 / S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , MR 0197542
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1968), „Korekta do:„ Mnożniki Schura grup Mathieu ” , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017 / S0027763000012782 , ISSN 0027-7630 , MR 0219626
Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, tom. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Wprowadzenie do teorii grup skończonego porządku , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Conway, John Horton (1971), „Trzy wykłady o wyjątkowych grupach” , w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizowanej przez London Mathematical Society (natowski Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Przedruk w Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas grup skończonych , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Opakowania sferyczne, kraty i grupy , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 290 (3rd ed.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Cuypers, Hans, The Mathieu grupy i ich geometrie (PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), grupy permutacji , Graduate Texts in Mathematics, tom. 163, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Griess, Robert L. Jr. (1998), Dwanaście grup sporadycznych , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), „Grupy skończone o składniku standardowym L typu M₁₂ lub M₂₂”, Journal of Algebra , 319 (2): 621–628, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.09.034 , ISSN 0021- 8693 , MR 2381799
Janko, Z. (1976). „Nowa skończona prosta grupa rzędu 86 775 570 046 077 562 880, która posiada M ₂₄ i pełną grupę pokrywającą M ₂₂ jako podgrupy” . J. Algebra . 42 : 564–596. doi : 10.1016/0021-8693(76)90115-0 . (Tytuł tego artykułu jest błędny, ponieważ później odkryto, że pełna grupa pokrywająca M ₂₂ była większa: środek rzędu 12, a nie 6.)
Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les old et sur les substitutions qui les laissent invariables” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois przechodni de 24 quantités” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (po francusku), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ stały martwy link ]}
Mazet, Pierre (1979), „Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M₂₂”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 289 (14): A659 – A661, ISSN 0151-0509 , MR 0560327
Thompson, Thomas M. (1983), Od kodów korygujących błędy przez opakowania sferyczne do prostych grup , Carus Mathematical Monographs, tom. 21, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach Transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947

Linki zewnętrzne

Grupa Mathieu M 22