Grupa Mathieu M ₂₃

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Mathieu M ₂₃ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960

≈ 1 × 10 ⁷ .

Historia i właściwości

M ₂₃ jest jedną z 26 grup sporadycznych i została wprowadzona przez Mathieu ( 1861 , 1873 ). Jest to 4-krotna przechodnia grupa permutacji na 23 obiektach. Zarówno mnożnik Schura , jak i zewnętrzna grupa automorfizmów są trywialne .

Milgram (2000) obliczył kohomologię całkową i wykazał w szczególności, że M ₂₃ ma niezwykłą właściwość polegającą na tym, że wszystkie pierwsze 4 integralne grupy homologii zanikają.

Odwrotny problem Galois wydaje się być nierozwiązany dla M ₂₃ . Innymi słowy, wydaje się, że żaden wielomian w Z[ x ] nie ma M ₂₃ jako swojej grupy Galois . Odwrotny problem Galois jest rozwiązany dla wszystkich innych sporadycznych grup prostych.

Konstrukcja wykorzystująca pola skończone

Niech $F 211$ będzie ciałem skończonym z 2 ¹¹ elementami. Jej grupa jednostek ma rząd $211$ − 1 = 2047 = 23 · 89, więc ma cykliczną podgrupę $C$ rzędu 23.

Grupę Mathieu M23 _można $F211, utożsamić$ z grupą automorfizmów liniowych $F2 stabilizują$ - liniowych które $C.$ Dokładniej, działanie tej grupy automorfizmów na $C$ można utożsamić z 4-krotnym działaniem przechodnim M ₂₃ na 23 obiekty.

Reprezentacje

M ₂₃ jest stabilizatorem punktowym działania grupy Mathieu M24 na 24 punkty, co daje mu 4-przechodnią reprezentację permutacji na 23 punktach ze stabilizatorem punktowym grupy Mathieu M22 .

M ₂₃ ma 2 różne akcje rangi 3 na 253 punkty. Jedno to działanie na pary nieuporządkowane o rozmiarach orbit 1+42+210 i stabilizatorze punktowym M ₂₁ .2, a drugie to działanie na heptady o rozmiarach orbit 1+112+140 i stabilizatorze punktowym 2 ⁴ .A ₇ .

Reprezentacja całkowa odpowiadająca działaniu permutacji w 23 punktach rozkłada się na reprezentację trywialną i reprezentację 22-wymiarową. 22-wymiarowa reprezentacja jest nieredukowalna w dowolnym polu o charakterystyce innej niż 2 lub 23.

W polu rzędu 2 ma dwie 11-wymiarowe reprezentacje, ograniczenia odpowiednich reprezentacji grupy Mathieu M24 .

Maksymalne podgrupy

Istnieje 7 klas koniugacji maksymalnych podgrup M ₂₃ w następujący sposób:

M ₂₂ , zamówienie 443520
PSL(3,4):2, rząd 40320, orbity 21 i 2
2 ⁴ :A ₇ , rząd 40320, orbity 7 i 16

bloku W ₂₃

A ₈ , rząd 20160, orbity 8 i 15
M ₁₁ , rząd 7920, orbity 11 i 12
(2 ⁴ : A ₅ ): S ₃ lub M ₂₀ : S ₃ , rząd 5760, orbity 3 i 20 (5 bloków po 4)

Jednopunktowy stabilizator grupy sekstetu

23:11, rząd 253, po prostu przechodni

Klasy koniugacji

Zamówienie	Liczba elementów	Struktura cyklu
1 = 1	1	1 ²³
2 = 2	3795 = 3 · 5 · 11 · 23	1 ⁷ 2 ⁸
3 = 3	56672 = 2 ⁵ · 7 · 11 · 23	1 ⁵ 3 ⁶
4 = 2 ²	318780 = 2 ² · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1 ³ 2 ² 4 ⁴
5 = 5	680064 = 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	1 ³ 5 ⁴
6 = 2 · 3	850080 = 2 ⁵ · 3 · 5 · 7 · 11 · 23	1·2 ² 3 ² 6 ²
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ² 7 ³	ekwiwalent mocy
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ² 7 ³	ekwiwalent mocy
8 = 2 ³	1275120 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1·2·4·8 ²
11 = 11	927360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	ekwiwalent mocy
11 = 11	927360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	ekwiwalent mocy
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	ekwiwalent mocy
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	ekwiwalent mocy
15 = 3 · 5	680064= 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	ekwiwalent mocy
15 = 3 · 5	680064= 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	ekwiwalent mocy
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	ekwiwalent mocy
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	ekwiwalent mocy

Cameron, Peter J. (1999), Grupy permutacji , London Mathematical Society Student Texts, tom. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Wprowadzenie do teorii grup skończonego porządku , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Conway, John Horton (1971), „Trzy wykłady o wyjątkowych grupach” , w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizowanej przez London Mathematical Society (natowski Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Przedruk w Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas grup skończonych , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Opakowania sferyczne, kraty i grupy , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 290 (3rd ed.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Cuypers, Hans, The Mathieu grupy i ich geometrie (PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), grupy permutacji , Graduate Texts in Mathematics, tom. 163, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Griess, Robert L. Jr. (1998), Dwanaście grup sporadycznych , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les old et sur les substitutions qui les laissent invariables” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois przechodni de 24 ilości” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (w języku francuskim), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ stały martwy link ]}
Milgram, R. James (2000), „Kohomologia grupy Mathieu M₂₃”, Journal of Group Theory , 3 (1): 7–26, doi : 10.1515 / jgth.2000.008 , ISSN 1433-5883 , MR 1736514
Thompson, Thomas M. (1983), Od kodów korygujących błędy przez opakowania sferyczne do prostych grup , Carus Mathematical Monographs, tom. 21, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach Transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Linki zewnętrzne

Grupa Mathieu M 23