Podgrupa dopasowania

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry zwanej teorią grup , dopasowana podgrupa F skończonej grupy G , nazwana na cześć Hansa Fittinga , jest jedyną w swoim rodzaju największą normalną nilpotentną podgrupą G . Intuicyjnie reprezentuje najmniejszą podgrupę, która „kontroluje” strukturę G , gdy G jest rozwiązywalne . Gdy G nie jest rozwiązywalne, podobną rolę odgrywa uogólniona podgrupa Dopasowania F ^* , która jest generowana przez Podgrupę Dopasowania i składowe G .

Dla dowolnej (niekoniecznie skończonej) grupy G , podgrupa dopasowania jest zdefiniowana jako podgrupa generowana przez nilpotentne normalne podgrupy G . W przypadku grup nieskończonych podgrupa dopasowania nie zawsze jest nilpotentna.

Pozostała część tego artykułu dotyczy wyłącznie grup skończonych .

Podgrupa Dopasowanie

Nilpotentność podgrupy Fitting grupy skończonej jest gwarantowana przez twierdzenie Fittinga , które mówi, że iloczyn skończonego zbioru normalnych podgrup nilpotentnych G jest ponownie normalną podgrupą nilpotentną. Można go również wyraźnie skonstruować jako iloczyn p-rdzeni G po wszystkich liczbach pierwszych p dzielących rząd G .

Jeśli G jest skończoną nietrywialną grupą rozwiązywalną, to podgrupa Fitting jest zawsze nietrywialna, tzn. jeśli G ≠1 jest skończoną rozwiązalną grupą, to F ( G ) ≠1. Podobnie podgrupa dopasowania G / F ( G ) będzie nietrywialna, jeśli G samo w sobie nie jest nilpotentne, co daje początek koncepcji długości dopasowania . Ponieważ pasująca podgrupa skończonej rozwiązalnej grupy zawiera swój własny centralizator , daje to metodę rozumienia skończonych rozwiązalnych grup jako rozszerzeń grup nilpotentnych przez wierne grupy automorfizmu grup nilpotentnych.

W grupie nilpotentnej każdy główny czynnik jest scentralizowany przez każdy element. Nieco rozluźniając warunek i biorąc podgrupę elementów ogólnej grupy skończonej, która centralizuje każdy główny czynnik, po prostu ponownie otrzymuje się podgrupę Fitting ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 5.4, s. 686):

${\ Displaystyle \ operatorname {Fit} (G) = \ bigcap \ {C_ {G} (H / K): H / K {\ tekst {główny czynnik}} G \}.}$

Uogólnienie na grupy p -nilpotentne jest podobne.

Uogólniona podgrupa dopasowania

Elementem grupy jest subnormalna podgrupa quasiprosta . (Grupa jest quasiprosta, jeśli jest doskonałym centralnym rozszerzeniem prostej grupy.) Warstwa E ( G ) lub L ( G ) grupy to podgrupa generowana przez wszystkie składniki. Dowolne dwa składowe grupy dojeżdżają do pracy, więc warstwa jest doskonałym centralnym przedłużeniem iloczynu grup prostych i jest największą podgrupą normalną G o tej strukturze. Uogólniona podgrupa Dopasowania F ^* ( G ) to podgrupa generowana przez warstwę i podgrupę Dopasowanie. Warstwa komutuje się z podgrupą Dopasowanie, więc uogólniona podgrupa Dopasowanie jest centralnym rozszerzeniem iloczynu p i grup prostych .

Warstwa jest również podgrupą maksymalnie normalną półprostą, w której grupa nazywana jest półprostą , jeśli jest doskonałym centralnym rozszerzeniem iloczynu grup prostych.

Ta definicja uogólnionej podgrupy dopasowania może być motywowana niektórymi z jej zamierzonych zastosowań. Rozważ problem polegający na próbie zidentyfikowania normalnej podgrupy H z G , która zawiera swój własny centralizator i grupę dopasowania. Jeśli C jest centralizatorem H, chcemy udowodnić, że C jest zawarte w H . Jeśli nie, wybierz minimalną podgrupę charakterystyczną M/Z(H) z C/Z(H) , gdzie Z(H) jest środkiem H , czyli tym samym, co przecięcie C i H . Wtedy M / Z ( H ) jest iloczynem grup prostych lub cyklicznych , ponieważ jest charakterystycznie prosty. Jeśli M / Z ( H ) jest iloczynem grup cyklicznych, to M musi należeć do podgrupy Dopasowanie. Jeśli M / Z ( H ) jest iloczynem nieabelowych grup prostych, to pochodna podgrupa M jest normalną półprostą podgrupą odwzorowaną na M / Z ( H ). Więc jeśli H zawiera podgrupę Fitting i wszystkie normalne podgrupy półproste, to M / Z ( H ) musi być trywialne, więc H zawiera swój własny centralizator. Uogólniona podgrupa dopasowania jest najmniejszą podgrupą zawierającą podgrupę dopasowania i wszystkie normalne podgrupy półproste.

Uogólnioną podgrupę Dopasowania można również postrzegać jako uogólniony centralizator głównych czynników. Nieabelowa półprosta grupa nie może się scentralizować, ale działa na siebie jako wewnętrzne automorfizmy. Mówimy, że grupa jest quasi-nilpotentna , jeśli każdy element działa jako wewnętrzny automorfizm na każdy główny czynnik. Uogólniona podgrupa dopasowania jest największą podgrupą podnormalną quasi-nilpotentną i jest równa zbiorowi wszystkich elementów, które działają jako automorfizmy wewnętrzne na każdy główny czynnik całej grupy (Huppert i Blackburn 1982, rozdział X, twierdzenie 5.4, s . 126):

${\ Displaystyle \ operatorname {Fit} ^ {*} (G) = \ bigcap \ {HC_ {G} (H / K): H / K {\ tekst {główny czynnik}} G \}.}$

Tutaj element g jest w H C _G ( H / K ) wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje takie h w H , że dla każdego x w H , x ^g ≡ x ^h mod K.

Nieruchomości

Jeśli G jest skończoną, rozwiązywalną grupą, to podgrupa Fitting zawiera swój własny centralizator. Centralizator podgrupy Dopasowanie jest centrum podgrupy Dopasowanie. W tym przypadku uogólniona podgrupa Dopasowanie jest równa podgrupie Dopasowanie. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli G jest grupą skończoną, to uogólniona podgrupa Fitting zawiera swój własny element centralizujący. Oznacza to, że w pewnym sensie uogólniona podgrupa dopasowania kontroluje G , ponieważ G modulo centralizator F ^* ( G ) jest zawarty w grupie automorfizmów F ^* ( G ), a centralizator F ^* ( G ) jest zawarty w F ^* ( G ). W szczególności istnieje tylko skończona liczba grup z daną uogólnioną podgrupą dopasowania.

Aplikacje

Normalizatory nietrywialnych p -podgrup grupy skończonej nazywane są p -lokalnymi podgrupami i sprawują dużą kontrolę nad strukturą grupy (pozwalając na tak zwaną analizę lokalną ). Mówimy, że grupa skończona jest charakterystycznego typu p , jeśli F ^* ( G ) jest grupą p dla każdej p -lokalnej podgrupy, ponieważ każda grupa typu Liego zdefiniowana na polu charakterystyki p ma tę właściwość. W klasyfikacji skończonych grup prostych pozwala to odgadnąć, w którym polu należy zdefiniować grupę prostą. Należy zauważyć, że kilka grup ma charakterystyczny p dla więcej niż jednego p .

Jeżeli grupa prosta nie jest typu Liego na polu o danej charakterystyce p , to podgrupy p -lokalne zwykle mają składowe w uogólnionej podgrupie Dopasowania, chociaż istnieje wiele wyjątków dla grup, które mają małą rangę, są zdefiniowane na małych polach, lub są sporadyczne. Jest to wykorzystywane do klasyfikowania skończonych grup prostych, ponieważ jeśli p -lokalna podgrupa ma znany składnik, często możliwe jest zidentyfikowanie całej grupy ( Aschbacher & Seitz 1976 ).

Analiza skończonych grup prostych za pomocą struktury i osadzania uogólnionych podgrup dopasowania ich maksymalnych podgrup została zapoczątkowana przez Helmuta Bendera ( Bender 1970 ) i ​​stała się znana jako metoda Bendera . Jest to szczególnie skuteczne w wyjątkowych przypadkach, gdy składowe lub funktory sygnalizacyjne nie mają zastosowania.

•   Aschbacher, Michael (2000), Teoria grup skończonych , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Aschbacher, Michał ; Seitz, Gary M. (1976), „O grupach ze standardowym składnikiem znanego typu”, Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482
•    Bender, Helmut (1970), „O grupach z abelowymi podgrupami Sylowa 2”, Mathematische Zeitschrift , 117 : 164–176, doi : 10.1007 / BF01109839 , ISSN 0025-5874 , MR 0288180
•     Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (w języku niemieckim), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050
•    Huppert, Bertram ; Blackburn, Norman (1982), grupy skończone. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 243, Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2 , MR 0650245