Podgrupa podnormalna

W matematyce , w dziedzinie teorii grup , podgrupa H danej grupy G jest podgrupą podnormalną G , jeśli istnieje skończony łańcuch podgrup grupy, z których każda jest normalna w następnej, zaczynając od H i kończąc na G .

W notacji, ${\ displaystyle H}$ jest $displaystyle$ w $G},$ jeśli istnieją podgrupy sol { \ displaystyle H}

${\ Displaystyle H = H_ {0}, H_ {1}, H_ {2}, \ ldots, H_ {k} = G}$

sol $}$$displaystyle G}$ takie, że dla każdego ${\$ displaystyle $.$

${\ displaystyle k$ podnormalna to podgrupa, która jest podnormalna dla pewnej dodatniej liczby całkowitej $}$ . Kilka faktów na temat podgrup podnormalnych:

• Podgrupa 1-podnormalna jest właściwą podgrupą normalną (i odwrotnie).
• Skończenie generowana grupa jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej podgrup jest poniżej normy.
• Każda podgrupa quasinormalna i, bardziej ogólnie, każda podgrupa permutowalna koniugatem grupy skończonej jest podnormalna.
• Każda podgrupa pronormalna , która jest również podnormalna, jest normalna. W szczególności podgrupa Sylowa jest podnormalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna.
• Każda podgrupa 2-podnormalna jest podgrupą z możliwością permutacji sprzężonej.

Właściwość podnormalności jest przechodnia , to znaczy podgrupa podnormalna podgrupy podnormalnej jest podnormalna. Relację podnormalności można zdefiniować jako przechodnie domknięcie relacji normalności.

Jeśli każda podgrupa podnormalna G jest normalna w G , to G nazywamy grupą T .

Zobacz też

• Charakterystyczna podgrupa
• Normalny rdzeń
• Normalne zamknięcie
• Podgrupa Ascendentu
• Podgrupa potomków
• Podgrupa szeregowa

•   Robinson, Derek JS (1996), Kurs z teorii grup , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
•   Ballester-Bolinches, Adolfo; Esteban-Romero, Ramon; Asaad, Mohamed (2010), Produkty grup skończonych , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-022061-2