Podgrupa quasinormalna

W matematyce , w dziedzinie teorii grup , podgrupa quasinormalna lub podgrupa permutowalna jest podgrupą grupy , która dojeżdża (permutuje) z każdą inną podgrupą w odniesieniu do iloczynu podgrup . Termin podgrupa quasinormalna został wprowadzony przez Øysteina Ore'a w 1937 roku.

Mówi się, że dwie podgrupy są permutowane (lub komutowane), jeśli dowolny element z pierwszej podgrupy pomnożony przez element drugiej podgrupy można zapisać jako element drugiej podgrupy pomnożony przez element pierwszej podgrupy. Oznacza to, że mówi się, że jako podgrupy dojeżdżają do pracy, jeśli HK = $K$$znaczy$ to dowolny element postaci z $\ displaystyle H} i$ { $K}$ displaystyle ${\ displaystyle h \ w H}$ k ${\ Displaystyle k \ w K}$${\ Displaystyle k'\ w K}$ zapisać w postaci ${\ Displaystyle k'h'}$ gdzie i ${ \displaystyle h'\w H}$ .

Każda normalna podgrupa jest quasi-normalna, ponieważ normalna podgrupa dojeżdża do pracy z każdym elementem grupy. Odwrotność nie jest prawdziwa. Na przykład każde rozszerzenie grupy cyklicznej $o$ grupę cykliczną $quasinormalne$ . tej samej (nieparzystej) liczby pierwszej ma tę właściwość, że wszystkie jej podgrupy są Jednak nie wszystkie jego podgrupy muszą być normalne.

Każda podgrupa quasinormalna jest podgrupą modułową , to znaczy modułowym elementem sieci podgrup . Wynika to z modularnej własności grup . Jeśli wszystkie podgrupy są quasi-normalne, wówczas grupę nazywamy grupą Iwasawa — czasami nazywaną także grupą modularną , chociaż ten ostatni termin ma inne znaczenie.

W każdej grupie każda quasi-normalna podgrupa jest wstępująca .

Podgrupa permutowalna sprzężona to taka, która dojeżdża do pracy ze wszystkimi swoimi podgrupami sprzężonymi. Każda podgrupa quasinormalna jest sprzężona permutowalna.

W skończonych grupach

Każda podgrupa quasinormalna grupy skończonej jest podgrupą podnormalną . Wynika to z nieco silniejszego stwierdzenia, że ​​każda podgrupa permutowalna koniugatów jest podnormalna, co z kolei wynika ze stwierdzenia, że ​​każda podgrupa permutowalna koniugatów jest normalna. (Skończoność jest używana w dowodach w decydujący sposób).

Podsumowując, podgrupa H skończonej grupy G jest permutowalna w G wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zarówno modularna, jak i podnormalna w G .

Grupy PT

Zmienność nie jest ogólnie relacją przechodnią . Grupy, w których permutowalność jest przechodnia, nazywane są grupami PT, przez analogię do grup T, w których normalność jest przechodnia.

Zobacz też

• Produkt centralny
• Podgrupa półprzenośna

• Stewart E. Stonehewer, „Stare, najnowsze i nowe wyniki dotyczące podgrup quasinormalnych” , Irish Math. soc. Biuletyn 56 (2005), 125–133
• Tuval Foguel , „Podgrupy permutowalne sprzężone” , Journal of Algebra 191, 235-239 (1997)