Produkt centralny

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie teorii grup , produktem centralnym jest jeden ze sposobów tworzenia grupy z dwóch mniejszych grup. Produkt centralny jest podobny do produktu bezpośredniego , ale w produkcie centralnym dwie izomorficzne podgrupy centralne mniejszych grup są połączone w jedną centralną podgrupę produktu. Produkty centralne są ważną konstrukcją i mogą służyć np. do klasyfikowania grup pozaspecjalnych .

Definicja

Istnieje kilka powiązanych, ale odrębnych pojęć produktu centralnego. Podobnie jak w przypadku iloczynu bezpośredniego , istnieją zarówno charakteryzacje wewnętrzne, jak i zewnętrzne, a dodatkowo istnieją warianty tego, jak ściśle kontrolowane jest przecięcie czynników.

Grupa G jest wewnętrznym iloczynem centralnym dwóch podgrup H , K if

G jest generowane przez H i K .
Każdy element H komutuje z każdym elementem K . ( Gorenstein 1980 , s. 29)

$nakładany jest$ surowszy wymóg, aby był dokładnie równy środkowi, jak w ( Leedham-Green & McKay 2002 ). Podgrupy H i K są wówczas nazywane czynnikami centralnymi G .

Zewnętrzny produkt centralny jest zbudowany z dwóch grup H i K , dwóch podgrup ${\ Displaystyle H_ {1} \ równoważnik Z (H)}$ i ${\ Displaystyle K_ {1 } \ równoważnik Z (K)}$ i izomorfizm grupy ${\ Displaystyle \ theta \ dwukropek H_ {1} \ do K_ {1}}$ . Zewnętrzny produkt centralny jest ilorazem iloczynu bezpośredniego przez normalną podgrupę ${\ displaystyle H \ razy K}$

Displaystyle N = \ {(h, k): h \ w H_ {1}, k\w K_{1},{\text{i }}\theta (h)\cdot k=1\}}

,

( Gorenstein 1980 , s. 29). Czasami nakładany jest surowszy wymóg, że H ₁ = Z( H ) i K ₁ = Z( K ), jak w ( Leedham-Green & McKay 2002 , s. 32).

Wewnętrzny iloczyn centralny jest izomorficzny z zewnętrznym iloczynem centralnym o tożsamości H ₁ = K ₁ = H ∩ K i θ . Zewnętrzny iloczyn centralny jest wewnętrznym iloczynem centralnym obrazów H × 1 i 1 × K w grupie ilorazów ${\ Displaystyle (H \ razy K) / N}$ . Jest to pokazane dla każdej definicji w ( Gorenstein 1980 , s. 29) i ( Leedham-Green & McKay 2002 , s. 32–33).

Należy zauważyć, że zewnętrzny iloczyn centralny nie jest generalnie określany wyłącznie przez jego czynniki H i K. Typ izomorfizmu iloczynu centralnego będzie zależał od izomorfizmu θ . Jest jednak dobrze zdefiniowany w niektórych godnych uwagi sytuacjach, na przykład gdy H i K są skończonymi dodatkowymi grupami specjalnymi i ${\ Displaystyle H_ {1} = Z (H)}$ i ${\ Displaystyle K_ {1} = Z (K)}$ .

Przykłady

Grupa Pauliego jest $D_ {4}}$ produktem grupy cyklicznej i grupy dwuściennej $\$ .
Każda dodatkowa grupa specjalna jest produktem centralnym dodatkowych grup specjalnych rzędu p ³ .
Warstwa grupy skończonej, to znaczy podgrupa generowana przez wszystkie subnormalne quasi-proste podgrupy , jest centralnym produktem grup quasi-prostych w sensie Gorensteina.

Aplikacje

Teoria reprezentacji produktów centralnych jest bardzo podobna do teorii reprezentacji produktów bezpośrednich i dlatego jest dobrze rozumiana ( Gorenstein 1980 , rozdz. 3.7).

Produkty centralne występują w wielu lematach strukturalnych, takich jak ( Gorenstein 1980 , s. 350, Lemma 10.5.5), który jest używany w wyniku George'a Glaubermana , że skończone grupy dopuszczające cztery grupy Kleina automorfizmów bez punktów stałych są rozwiązywalne .

W pewnym kontekście iloczynu tensorowego modułów Liego (i innych powiązanych struktur), grupa automorfizmów zawiera iloczyn centralny grup automorfizmów każdego czynnika ( Aranda-Orna 2022 , ${\ displaystyle \ S}$ 4).

Gorenstein, Daniel (1980), Grupy skończone , Nowy Jork: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209
Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), Struktura grup pierwszego rzędu potęgowego , London Mathematical Society Monografie. Nowa seria, tom. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5 , MR 1918951
Aranda-Orna, Diego (2022), O konstrukcji Faulknera dla uogólnionych superpar Jordana , Algebra liniowa i jej zastosowania, tom. 646, s. 1–28