Funktor sygnalizacyjny

W matematyce funktor sygnalizacyjny podaje przecięcia potencjalnej podgrupy skończonej grupy z centralizatorami nietrywialnych elementów grupy abelowej. Twierdzenie o funktorze sygnalizacyjnym podaje warunki, w których funktor sygnalizacyjny pochodzi z podgrupy. Chodzi o to, aby spróbować skonstruować $-podgrupę$$,$ która ma $duże$ szanse na normalność w biorąc za generatory ${\ displaystyle p '}$ - podgrupy centralizatorów elementów nietożsamościowych w jednym lub kilku danych niecyklicznych elementarnych $-$ podgrupach ${\ Displaystyle G.}$ Technika ta wywodzi się z twierdzenia Feita-Thompsona i została następnie rozwinięta przez wiele osób, w tym Gorensteina (1969) , który zdefiniował funktory sygnalizacyjne, Glaubermana (1976) , który udowodnił twierdzenie o rozwiązywalnym funktorze sygnalizacyjnym dla grup rozwiązywalnych, oraz McBride'a ( 1982a , 1982b ), który udowodnił to dla wszystkich grup. Twierdzenie to jest potrzebne do udowodnienia tzw. „dychotomii” stwierdzającej, że dana nieabelowa skończona grupa prosta albo ma lokalną cechę dwa, albo jest typu składowego. Odgrywa zatem ważną rolę w klasyfikacji skończonych grup prostych .

Definicja

Niech A będzie niecykliczną elementarną abelową podgrupą p skończonej grupy G. Funktor sygnalizacyjny A na lub G po prostu funktor sygnalizacyjny, gdy A i G są jasne, jest odwzorowaniem θ ze zbioru elementów nietożsamościowych A na zbiór A -niezmiennik p′ -podgrupy G spełniające następujące własności:

• Dla $_$ grupa $za$ zawarta ${\ Displaystyle C_ {G} (a).}$
• Dla $do$${\ Displaystyle \ teta (a) \ czapka C_ {G} (b) \ subseteq \ teta (b).}$ mamy

Drugi warunek powyżej nazywany jest warunkiem równowagi. Jeśli $rozwiązywalne ,$ podgrupy są $sam$ mówi się, że sygnalizujący rozwiązywalny

Rozwiązywalne twierdzenie funktora sygnalizacyjnego

Biorąc pod uwagę pewne dodatkowe, stosunkowo łagodne założenia $za) \ mid a \ w A, a \ neq 1 \ rangle }$ pozwalają udowodnić, że podgrupa $W$$\ Displaystyle W = \ langle \ theta$$z$ generowanych przez podgrupy w rzeczywistości p $\ Displaystyle \ theta (a)}$${\ displaystyle p '}$ - podgrupa. $rozwiązywalne$$udowodnione$ przez Glaubermana i wspomniane powyżej mówi, że tak będzie, jeśli jest i ma co najmniej trzy generatory Twierdzenie stwierdza również, że przy tych założeniach $samo$ rozwiązalne.

Udowodniono kilka wcześniejszych wersji twierdzenia: Gorenstein (1969) udowodnił to przy silniejszym założeniu, że ma rangę co najmniej 5. Goldschmidt ( $udowodnił$ , 1972b ) to przy założeniu, że ${\ displaystyle A}$ miał rangę co najmniej 4 lub był grupą 2 o randze co najmniej 3. Bender (1975) dał prosty dowód dla 2-grup za pomocą twierdzenia ZJ , a dowód w podobnym duchu został podany dla wszystkich liczb pierwszych przez Flavella ( 2007) . Glauberman (1976) podał ostateczny wynik dla rozwiązywalnych funktorów sygnalizacyjnych. Korzystając $rozwiązywalna$ klasyfikacji skończonych grup prostych, McBride ( $-grupą$ 1982b ) wykazał , że $.$ grupą bez założenia, że ​​jest

Kompletność

Terminologia kompletności jest często używana w dyskusjach na temat funktorów sygnalizacyjnych. Niech ${\ displaystyle \ theta} będzie funktorem sygnalizacyjnym jak powyżej i$$displaystyle$ zbiór И wszystkich - $} displaystyle G}$ p $p '} -$ podgrupy ${\ displaystyle H$ G spełniający następujący warunek:

• ${\ Displaystyle H \ cap C_ {G} (a) \ subseteq \ theta (a)}$ dla wszystkich nietożsamości ${\ displaystyle a \ w A.}$

$przez$ przykład podgrupy należą do И funktor sygnalizatora $.$ kompletny , jeśli И ma unikalny element maksymalny, gdy jest uporządkowany według zawierania $,$ można $.$$to$ unikalny element maksymalny pokrywa się z powyższym , a nazywa się dopełnieniem jeśli $rozwiązalny$$kompletny$ i okazuje się, że można go rozwiązać, wtedy $mówi$ , że jest .

Tak więc twierdzenie o rozwiązywalnym funktorze sygnalizującym można przeformułować, mówiąc, że jeśli $pisownia$ co najmniej trzy generatory, to każdy rozwiązywalny ? ZA $A$$}$ kompletne.

Przykłady funktorów sygnalizacyjnych

Najłatwiejszym sposobem uzyskania funktora sygnalizacyjnego jest rozpoczęcie od ${\ displaystyle G,}$$\ displaystyle$ p $p '}$ -podgrupy ${\ displaystyle M}$ sol i zdefiniowanie ${\ Displaystyle \ teta (a) = M \ cap C_ {G} (a)}$ dla wszystkich nietożsamości ${\ displaystyle a \ w A.}$$W$ jednak zaczyna się $od$$skonstruowania$ używa go do -niezmiennej

Najprostszym funktorem sygnalizacyjnym używanym w praktyce jest to: ${\ Displaystyle \ teta (a) = O_ {p '} (C_ {G} (a)).}$

Potrzebne jest tutaj kilka słów przestrogi. Po pierwsze, zauważ, że zgodnie z powyższą definicją jest rzeczywiście - $p$$p$$'}$ sol $\ displaystyle G$ } ponieważ ${\ Displaystyle A}$ jest abelowy. Jednak potrzebne są dodatkowe założenia, aby pokazać, że spełnia to $równowagi$ . Jednym wystarczającym kryterium jest to dla każdej nietożsamości ${\ Displaystyle a \ w A,}$ grupa do ${\ Displaystyle C_ {G} (a)}$${\ Displaystyle p }$ (lub $p$ lub nawet -ograniczony). Sprawdzenie warunku równowagi dla tego $założeniu$ wymaga słynnego lematu, znanego jako Thompsona ${\ displaystyle P \ razy Q}$ -lemat. (Zauważ, $że$ ten lemat jest również nazywany -lemmatem Thompsona , ale tym użyciu nie należy mylić go z w definicji $}$$displaystyle A$ funktora sygnalizacyjnego!)

Prymitywna akcja

Aby lepiej zrozumieć funktory sygnalizacyjne, niezbędna jest znajomość następującego ogólnego faktu dotyczącego grup skończonych:

• Niech $będzie abelową niecykliczną grupą$ na skończonej grupie $że$$Załóżmy,$ rzędy i $są$ względnie Następnie

$Displaystyle X = \ langle C_ {X} (E_ {0}) \ środkowy E_ {0} \ subseteq E, {\ tekst { i }}E/E_{0}{\text{ cykliczny }}\rangle }$

$mi -$ fakt, używa się twierdzenia Schura – Zassenhausa , aby pokazać, że $dla$ każdej liczby pierwszej ${\ displaystyle$ rząd $X,}$ grupa ma ${\ displaystyle X}$ niezmienna Sylow ${\ displaystyle q} -$ podgrupa. Zmniejsza się to do przypadku, w którym jest grupą $}$${\ displaystyle q$ . Następnie argument przez indukcję rzędu $\$$displaystyle X}$$jest$ to stwierdzenie dalej do przypadku, w którym abelem z działaniem nieredukowalnym. Zmusza $a$ grupę , Więcej informacji można znaleźć w książkach Aschbacher (2000) lub Kurzweil & Stellmacher (2004) .

Jest to używane zarówno w dowodzie, jak i zastosowaniach twierdzenia o rozwiązywalnym funktorze sygnalizacyjnym. Na początek zauważ, że szybko implikuje $zdefiniowana$ twierdzenie, że jeśli $kompletne$ , to jego uzupełnieniem jest grupa powyżej.

Normalne zakończenie

$sygnalizacyjnego$ ma „dużą szansę” na normalność w z początkiem artykułu Tutaj fakt działania względnie pierwszych zostanie wykorzystany do uzasadnienia tego twierdzenia. Niech ${\ displaystyle \ theta}$ będzie kompletnym funktorem $-sygnalizatora$ na $displaystyle G}$

Niech ${\ Displaystyle A.}$$niecykliczną$ podgrupą Wtedy fakt działania względnie pierwszych wraz z warunkiem równowagi implikuje, że ${\ Displaystyle W = \ langle \ theta (a) \ mid a \ in A, a \ neq 1 \ rangle = \ langle \ theta (b) \ mid b \ in B, b \ neq 1 \ rangle}$ .

Aby to zobaczyć, zauważ, że ponieważ jest B - niezmiennikiem, mamy ${\ Displaystyle \ theta (a)}$

${\ Displaystyle \ theta (a) = \ langle \ theta (a) \ cap C_ {G} (b) \ mid b \ in B, b \ neq 1 \ rangle \ subseteq \ langle \ theta (b) \ mid b \in B,b\neq 1\rangle .}$

Powyższa równość wykorzystuje fakt działania względnie pierwszy, a zawieranie wykorzystuje warunek równowagi. Teraz często zdarza się, że $warunek$ „równoważności”, a mianowicie, że dla każdego $in$$A}$ za

${\ Displaystyle \ teta (a ^ {g}) = \ teta (a) ^ {g}. \,}$

Indeks górny oznacza koniugację przez ${\ displaystyle g.}$$\ Displaystyle a \ mapsto O_ {p'} (C_ {G} (a))}$ przykład mapowanie (które często jest sygnalizatorem za funktor!) spełnia ten warunek. Jeśli normalizator ${\ Displaystyle W.}$$spełnia$ . $równoważność$ , Wynika z tego, że jeśli $w$${\ Displaystyle G.}$ normalizatory niecyklicznych podgrup z $zakończenie$ ( $normalne$ . W) jest

•   Aschbacher, Michael (2000), Teoria grup skończonych , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
•    Bender , Helmut ( 1975 ) _ _ _ _ _ _ _ _
• Flavell, Paul (2007), Nowy dowód rozwiązywalnego twierdzenia funktora sygnałowego (PDF) , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 14.04.2012
•    Goldschmidt, David M. (1972a), „Rozwiązywalne funktory sygnalizacyjne na grupach skończonych”, Journal of Algebra , 21 : 137–148, doi : 10.1016/0021-8693 (72) 90040-3 , ISSN 0021-8693 , MR 0297861
•    Goldschmidt, David M. (1972b), „funktory 2-sygnalizacyjne na grupach skończonych”, Journal of Algebra , 21 : 321–340, doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90027-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0323904
•    Glauberman, George (1976), „O rozwiązywalnych funktorach sygnalizacyjnych w grupach skończonych”, Proceedings of the London Mathematical Society , seria trzecia, 33 (1): 1–27, doi : 10.1112 / plms / s3-33.1.1 , ISSN 0024 -6115 , MR 0417284
•    Gorenstein, D. (1969), „O centralizatorach inwolucji w grupach skończonych”, Journal of Algebra , 11 : 243–277, doi : 10.1016/0021-8693 (69) 90056-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0240188
•    Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), Teoria grup skończonych , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97433 , ISBN 978-0-387-40510-0 , MR 2014408
•    McBride , Patrick Paschal ( 1982a ) _ _ _ _ _ _ _ 2027.42/23875 , ISSN 0021-8693 , MR 0677717
•   , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ISSN 0021-8693