Grupa N (teoria grup skończonych)

Nie mylić z grupą n (teoria kategorii) .

W matematycznej teorii grup skończonych grupa N to grupa, której wszystkie podgrupy lokalne (to znaczy normalizatory nietrywialnych podgrup p ) są grupami rozwiązywalnymi . Te nierozwiązywalne zostały sklasyfikowane przez Thompsona podczas jego pracy nad znalezieniem wszystkich minimalnych skończonych grup prostych.

Proste N-grupy

Proste grupy N zostały sklasyfikowane przez Thompsona ( 1968 , 1970 , 1971 , 1973 , 1974 , 1974b ) w serii 6 artykułów o łącznej wartości około 400 stron.

Proste grupy N składają się ze specjalnych grup liniowych PSL 2 ( q ), PSL 3 (3), grup Suzuki Sz(2 2 n +1 ), grupy unitarnej U 3 (3), grupy przemiennej A 7 , grupa Mathieu M 11 i grupa cycków . (Grupa cycków została pominięta w pierwotnym ogłoszeniu Thomsona z 1968 r., Ale Hearn zwrócił uwagę, że była to również prosta grupa N). Mówiąc bardziej ogólnie, Thompson wykazał, że każda nierozwiązywalna grupa N jest podgrupą Aut ( G ) zawierającą G dla pewnej prostej grupy N G .

Gorenstein i Lyons (1976) uogólnili twierdzenie Thompsona na przypadek grup, w których wszystkie 2-lokalne podgrupy są rozwiązywalne. Jedynymi dodatkowymi prostymi grupami, które się pojawiają, są grupy unitarne U 3 ( q ).

Dowód

Gorenstein (1980 , 16.5) podaje podsumowanie klasyfikacji Thompsona grup N.

Liczby pierwsze dzielące rząd grupy dzielą się na cztery klasy π 1 , π 2 , π 3 , π 4 w następujący sposób

  • π 1 jest zbiorem liczb pierwszych p takich, że p -podgrupa Sylowa jest nietrywialna i cykliczna.
  • π 2 jest zbiorem liczb pierwszych p takich, że Sylow p -podgrupa P jest niecykliczna, ale SCN 3 ( P ) jest pusta
  • π 3 jest zbiorem liczb pierwszych p takich, że Sylow p -podgrupa P ma SCN 3 ( P ) niepusty i normalizuje nietrywialną podgrupę abelową rzędu pierwszego do p .
  • π 4 jest zbiorem liczb pierwszych p takich, że Sylow p -podgrupa P ma SCN 3 ( P ) niepusty, ale nie normalizuje nietrywialnej podgrupy abelowej rzędu pierwszego do p .

Dowód jest podzielony na kilka przypadków w zależności od tego, do której z tych czterech klas należy liczba pierwsza 2, a także od liczby całkowitej e , która jest największą liczbą całkowitą, dla której istnieje elementarna podgrupa abelowa rzędu e znormalizowana przez nietrywialną podgrupę 2 przecinając go trywialnie.

  • Thompson (1968) Podaje ogólne wprowadzenie, podając główne twierdzenie i udowadniając wiele wstępnych lematów.
  • Thompson (1970) charakteryzuje grupy E 2 (3) i S 4 (3) (w notacji Thompsona; są to grupa wyjątkowa G 2 (3) i grupa symplektyczna Sp 4 (3)), które nie są N-grupami, ale których charakterystyki są potrzebne w dowodzie głównego twierdzenia.
  • Thompson (1971) obejmuje przypadek, w którym 2∉π 4 . Twierdzenie 11.2 pokazuje, że jeśli 2∈π 2 to grupą jest PSL 2 ( q ), M 11 , A 7 , U 3 (3) lub PSL 3 (3). Możliwość, że 2∈π 3 jest wykluczona przez wykazanie, że jakakolwiek taka grupa musi być grupą C i użycie klasyfikacji grup C Suzuki do sprawdzenia, czy żadna z grup znalezionych przez Suzuki nie spełnia tego warunku.
  • Thompson (1973) i Thompson (1974) obejmują przypadki, gdy 2∈π 4 i e ≥3 lub e =2. Pokazuje, że albo G jest grupą C, czyli grupą Suzuki, albo spełnia swoją charakterystykę grup E 2 (3) i S 4 (3) w swoim drugim artykule, które nie są grupami N.
  • Thompson (1974) obejmuje przypadek, gdy 2∈π 4 i e =1, gdzie jedyną możliwością jest to, że G jest grupą C lub grupą cycków .

Konsekwencje

Minimalna grupa prosta to niecykliczna grupa prosta, której wszystkie właściwe podgrupy są rozwiązywalne. Pełną listę minimalnych skończonych grup prostych przedstawia Thompson (1968 , wniosek 1)

  • PSL 2 (2 p ), p a prim.
  • PSL 2 (3 p ), p nieparzysta liczba pierwsza.
  • PSL 2 ( p ), p > 3 liczba pierwsza przystająca do 2 lub 3 mod 5
  • Sz(2 p ), p nieparzysta liczba pierwsza.
  • PSL 3 (3)

Innymi słowy, niecykliczna skończona prosta grupa musi mieć podiloraz izomorficzny z jedną z tych grup.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=N-group_(finite_group_theory)&oldid=1099282592 ”