Grupa cycków

W teorii grup , grupa cycków ² F ₄ (2) ′, nazwana na cześć Jacquesa Titsa ( francuski: [tits] ), jest skończoną prostą grupą porządku

2 ¹¹ · 3 ³ · 5 ² · 13 = 17 971 200.

Czasami jest uważana za 27. grupę sporadyczną .

Historia i właściwości

Grupy Ree ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) zostały skonstruowane przez Ree (1961) , który wykazał, że są one proste, jeśli n ≥ 1. Pierwszy członek tego szeregu ² F ₄ (2) nie jest prosty. Został zbadany przez Jacquesa Titsa ( 1964 ), który wykazał, że jest on prawie prosty , a jego pochodna podgrupa ² F ₄ (2)′ o indeksie 2 jest nową grupą prostą, obecnie nazywaną grupą cycków. Grupa ² F ₄ (2) jest grupą typu Lie i ma parę BN , ale sama grupa cycków nie ma pary BN . Grupa cyc należy do nieskończonej rodziny ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′ grup komutatorowych grup Ree, a więc z definicji nie jest sporadyczna. Ale ponieważ nie jest to również ściśle grupa typu Lie, jest czasami uważana za 27. grupę sporadyczną .

Mnożnik Schura grupy cycków jest trywialny, a jej zewnętrzna grupa automorfizmów ma rząd 2, przy czym pełną grupą automorfizmów jest grupa ² F ₄ (2).

Grupa cycków występuje jako maksymalna podgrupa grupy Fischera Fi ₂₂ . Grupy ² F ₄ (2) występują również jako podgrupa maksymalna grupy Rudvalisa , jako stabilizator punktowy działania permutacji rangi 3 na 4060 = 1 + 1755 + 2304 punkty.

Grupa cycków jest jedną z prostych grup N i została pominięta w pierwszym ogłoszeniu klasyfikacji prostych grup N przez Johna G. Thompsona , ponieważ nie została wówczas odkryta. Jest to również jedna z cienkich grup skończonych .

Grupę cycków scharakteryzowali na różne sposoby Parrott ( 1972 , 1973 ) i Stroth (1980) .

Maksymalne podgrupy

Wilson (1984) i Tchakerian (1986) niezależnie ustalili 8 klas maksymalnych podgrup grupy cycków w następujący sposób:

L ₃ (3): 2 Dwie klasy połączone zewnętrznym automorfizmem. Te podgrupy ustalają punkty reprezentacji permutacji rzędu 4.

2.[2 ⁸ ].5.4 Centralizator inwolucji.

L ₂ (25)

2 ² .[2 ⁸ ].S ₃

A ₆ .2 ² (Dwie klasy połączone zewnętrznym automorfizmem)

5 ² :4A ₄

Prezentacja

Grupę cycków można zdefiniować w kategoriach generatorów i relacji wg

${\ Displaystyle a ^ {2 }=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1} )^{6}=1,\,}$

gdzie [ a , b ] jest komutatorem a ⁻¹ b ⁻¹ ab . Ma zewnętrzny automorfizm uzyskany przez wysłanie ( a , b ) do ( a , b ( ba ) ⁵ b ( ba ) ⁵ ).

Notatki

•    Parrott, David (1972), „Charakterystyka prostej grupy cycków” , Canadian Journal of Mathematics , 24 (4): 672–685, doi : 10.4153/cjm-1972-063-0 , ISSN 0008-414X , MR 0325757
•    Parrott, David (1973), „Charakterystyka grup Ree ² F ₄ (q)”, Journal of Algebra , 27 (2): 341–357, doi : 10.1016 / 0021-8693 (73) 90109-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0347965
•    Ree, Rimhak (1961), „Rodzina prostych grup związanych z prostą algebrą Liego typu (F4 ₎ ” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN 0002-9904 , MR 0125155
•    Stroth, Gernot (1980), „Ogólna charakterystyka prostej grupy cycków”, Journal of Algebra , 64 (1): 140–147, doi : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90138-6 , ISSN 0021-8693 , MR 0575787
•    Tchakerian, Kerope B. (1986), „Maksymalne podgrupy prostej grupy cycków”, Pliska Studia Mathematica Bulgarica , 8 : 85–93, ISSN 0204-9805 , MR 0866648
•     Cycki, Jacques (1964), „Algebraiczne i abstrakcyjne proste grupy”, Annals of Mathematics , Second Series, 80 (2): 313–329, doi : 10.2307 / 1970394 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970394 , MR 0164968
•    Wilson, Robert A. (1984), „Geometria i maksymalne podgrupy prostych grup A. Rudvalisa i J. Tits”, Proceedings of the London Mathematical Society , seria trzecia, 48 (3): 533–563, doi : 10.1112/plms/s3-48.3.533 , ISSN 0024-6115 , MR 0735227

Linki zewnętrzne

• ATLAS reprezentacji grupowych — The Tits Group