grupa Rudvalisa

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Rudvalisa Ru jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ¹⁴ · 3 ³ · 5 ³ · 7 · 13 · 29

= 145926144000

≈ 1 × 10 ¹¹ .

Historia

Ru jest jedną z 26 grup sporadycznych i została odkryta przez Arunasa Rudvalisa ( 1973 , 1984 ) i skonstruowana przez Johna H. Conwaya i Davida B. Walesa ( 1973 ). Jego mnożnik Schura ma rząd 2, a jego zewnętrzna grupa automorfizmów jest trywialna.

W 1982 roku Robert Griess wykazał, że Ru nie może być podilorazem grupy potworów . Jest więc jedną z 6 sporadycznych grup zwanych pariasami .

Nieruchomości

Grupa Rudvalisa działa jako grupa permutacji rangi 3 na 4060 punktach, przy czym jednym stabilizatorem punktowym jest grupa Ree ² F ₄ (2), grupa automorfizmu grupy cycków . Ta reprezentacja implikuje silnie regularny wykres srg(4060, 2304, 1328, 1208). Oznacza to, że każdy wierzchołek ma 2304 sąsiadów i 1755 nie-sąsiadów, dowolne dwa sąsiednie wierzchołki mają 1328 wspólnych sąsiadów, podczas gdy dowolne dwa niesąsiadujące wierzchołki mają 1208 (Griess 1998 , s. 125).

Jego podwójne pokrycie działa na 28-wymiarową siatkę nad liczbami całkowitymi Gaussa . Krata ma 4 × 4060 minimalnych wektorów; jeśli minimalne wektory są identyfikowane za każdym razem, gdy jeden wynosi 1, i , –1 lub – i razy inny, wówczas 4060 klas równoważności można zidentyfikować za pomocą punktów reprezentacji permutacji rangi 3. Zmniejszenie tej sieci modulo do głównego ideału

{\ Displaystyle (1 + i) \}

$daje$ działanie grupy Rudvalisa na 28-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad polem elementami. Duncan (2006) wykorzystał 28-wymiarową siatkę do skonstruowania algebry operatora wierzchołków , na którą działa podwójne pokrycie.

Parrott (1976) scharakteryzował grupę Rudvalisa za pomocą centralizatora centralnej inwolucji. Aschbacher i Smith (2004) podali kolejną charakterystykę w ramach identyfikacji grupy Rudvalis jako jednej z grup quasitynowych .

Maksymalne podgrupy

Wilson (1984) znalazł 15 klas koniugacji maksymalnych podgrup Ru w następujący sposób:

² fa ₄ (2) = ² fa ₄ (2)'.2
2 ⁶ .U ₃ (3).2
(2 ² × Sz(8)):3
2 ³⁺⁸ :P ₃ (2)
U ₃ (5): 2
2 ¹⁺⁴⁺⁶ .S ₅
PSL ₂ (25).2 ²
8 _{_}
PSL ₂ (29)
5 ² :4.S ₅
3.A ₆ .2 ²
5 ¹⁺² :[2 ⁵ ]
Ł ₂ (13): 2
6 .2 ²_{_}
5:4 × ₅

Aschbacher, Michał ; Smith, Stephen D. (2004), Klasyfikacja grup quasitynowych. I Struktura silnie quasitynowych grup K , przeglądy matematyczne i monografie, tom. 111, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3410-7 , MR 2097623
Conway, John H .; Walia, David B. (1973), „Konstrukcja prostej grupy rzędu Rudvalisa 145926144000”, Journal of Algebra , 27 (3): 538–548, doi : 10.1016 / 0021-8693 (73) 90063-X
Johna F. Duncana (2008). „Bimber dla sporadycznej grupy Rudvalisa”. arXiv : matematyka/0609449v1 .
Griess, Robert L. (1982), „Przyjazny olbrzym” (PDF) , Inventiones Mathematicae , 69 (1): 1–102, Bibcode : 1982InMat..69....1G , doi : 10.1007/BF01389186 , hdl : 2027.42/46608
Griess, Robert L. (1998), Dwanaście sporadycznych grup , Springer-Verlag
Parrott, David (1976), „Charakterystyka prostej grupy Rudvalisa”, Proceedings of the London Mathematical Society , seria trzecia, 32 (1): 25–51, doi : 10.1112 / plms / s3-32.1.25 , ISSN 0024 -6115 , MR 0390043
Rudvalis, Arunas (1973), „Nowa prosta grupa rzędu 2 ¹⁴ 3 ³ 5 ³ 7 13 29”, Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego (20): A–95
Rudvalis , Arunas ( 1984 ) _ _ _ _ 0021-8693 , MR 0727376
Rudvalis, Arunas (1984), „A ranga 3 prosta grupa G rzędu 2¹⁴3³5³7.13.29. II. Znaki G i Ĝ”, Journal of Algebra , 86 (1): 219–258, doi : 10.1016 / 0021-8693 ( 84)90064-4 , ISSN 0021-8693 , MR 0727377
Wilson, Robert A. (1984), „Geometria i maksymalne podgrupy prostych grup A. Rudvalisa i J. Tits”, Proceedings of the London Mathematical Society , seria trzecia, 48 (3): 533–563, doi : 10.1112/plms/s3-48.3.533 , ISSN 0024-6115 , MR 0735227

Linki zewnętrzne