grupy Suzuki

W obszarze współczesnej algebry znanej jako teoria grup , grupy Suzuki , oznaczane przez Sz(2 ^{2 n +1} ), ² B ₂ (2 ^{2 n +1} ), Suz(2 ^{2 n +1} ) lub G (2 ^{2 n +1} ), tworzą nieskończoną rodzinę grup typu Lie znalezioną przez Suzuki ( 1960 ), które są proste dla n ≥ 1. Te proste grupy są jedynymi skończonymi nieabelowymi grupami z rzędami niepodzielnymi przez 3.

Konstrukcje

Suzuki

Suzuki (1960) pierwotnie skonstruował grupy Suzuki jako podgrupy SL ₄ ( F _{2 ^{2 n + 1}} ) wygenerowane przez pewne jawne macierze.

Ree

Ree zauważył, że grupy Suzuki były punktami stałymi wyjątkowych automorfizmów niektórych grup symplektycznych o wymiarze 4 i wykorzystał to do skonstruowania dwóch kolejnych rodzin grup prostych, zwanych grupami Ree . W najniższym przypadku grupa symplektyczna B ₂ (2)≈ S ₆ ; jego wyjątkowy automorfizm ustala podgrupę Sz(2) lub 2B2(2) rzędu 20. Ono (1962 ⁾ dał szczegółowy _opis obserwacji Ree.

cycki

Tits ( 1962 ) skonstruowali grupy Suzuki jako symetrie pewnego owalu w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej na polu o charakterystyce 2.

Wilsona

Wilson ( 2010 ) skonstruował grupy Suzuki jako podgrupę grupy symplektycznej w 4 wymiarach zachowując pewien iloczyn na parach ortogonalnych wektorów.

Nieruchomości

Niech q = 2 ^{2 n +1} i r = 2 ⁿ , gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą.

Grupy Suzuki Sz( q ) lub ² B ₂ ( q ) są proste dla n ≥1. Grupa Sz(2) jest rozwiązywalna i jest grupą Frobeniusa rzędu 20.

Grupy Suzuki Sz( q ) mają rzędy q ² ( q ² +1)( q −1). Grupy te mają rzędy podzielne przez 5, ale nie przez 3.

Mnożnik Schura jest trywialny dla n >1, grupa Kleina 4 dla n =1, czyli Sz(8).

Zewnętrzna grupa automorfizmów jest cykliczna rzędu 2 n +1, dana przez automorfizmy pola rzędu q .

Grupa Suzuki to grupy Zassenhausa działające na zbiorach o rozmiarze (2 ^{2 n +1} ) ² +1 i posiadające 4-wymiarowe reprezentacje na polu z 2 ^{2 n +1} elementami.

Grupy Suzuki to grupy CN : centralizator każdego nietrywialnego elementu jest nilpotentny .

Podgrupy

Gdy n jest dodatnią liczbą całkowitą, Sz( q ) ma co najmniej 4 typy maksymalnych podgrup.

Podgrupa diagonalna jest cykliczna, rzędu q – 1.

Dolna podgrupa trójkątna (Borel) i jej koniugaty rzędu q ² ·( q -1). Są jednopunktowymi stabilizatorami w podwójnie przechodniej permutacyjnej reprezentacji Sz( q ).
Grupa dwuścienna D _{q –1} , normalizator podgrupy diagonalnej i koniugaty.
do _{q +2 r +1} :4
C _{q –2 r +1} :4
Mniejsze grupy Suzuki, gdy 2 n +1 jest złożone.

Albo q +2 r +1 _, albo q –2 r +1 jest podzielne przez 5, tak że Sz( q ) zawiera grupę Frobeniusa C5 :4.

Klasy koniugacji

Suzuki ( 1960 ) wykazał, że grupa Suzuki ma q +3 klasy koniugacji. Spośród nich q +1 są silnie rzeczywiste, a pozostałe dwie to klasy elementów rzędu 4.

q ² +1 Sylow 2-podgrupy rzędu q ² , o indeksie q –1 w swoich normalizatorach. 1 klasa elementów rzędu 2, 2 klasy elementów rzędu 4.
q ² ( q ² +1)/2 podgrupy cykliczne rzędu q –1, o indeksie 2 w ich normalizatorach. Stanowią one dla ( q –2)/2 klas koniugacji elementów nietrywialnych.
Cykliczne podgrupy rzędu q +2 r +1, o indeksie 4 w swoich normalizatorach. Stanowią one dla ( q +2 r )/4 klas koniugacji elementów nietrywialnych.
Cykliczne podgrupy rzędu q –2 r +1, o indeksie 4 w swoich normalizatorach. Stanowią one ( q –2 r )/4 klasy koniugacji elementów nietrywialnych.

Normalizatorami wszystkich tych podgrup są grupy Frobeniusa.

Postacie

Suzuki (1960) wykazał, że grupa Suzuki ma q + 3 nieredukowalne reprezentacje na liczbach zespolonych, z których 2 są zespolone, a reszta jest rzeczywista. Są one podane w następujący sposób:

Trywialny charakter stopnia 1.
Reprezentacja Steinberga stopnia q 2 ^, pochodząca z podwójnie przechodniej reprezentacji permutacyjnej.
( q –2)/2 znaki stopnia q ² +1
Dwa znaki zespolone stopnia r ( q –1), gdzie r = 2 ⁿ
( q +2 r )/4 znaki stopnia ( q –2 r +1)( q –1)
( q –2 r )/4 znaki stopnia ( q +2 r +1)( q –1).

Nouacer, Ziani (1982), „Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki” , Diagramy , 8 : ZN1 – ZN29, ISSN 0224-3911 , MR 0780446
Ono, Takashi (1962), „Identyfikacja grup Suzuki z grupami uogólnionego typu Lie.”, Annals of Mathematics , Second Series, 75 (2): 251–259, doi : 10.2307/1970173 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970173 , MR 0132780
Suzuki, Michio (1960), „Nowy typ prostych grup skończonego porządku”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 46 (6): 868–870, Bibcode : 1960PNAS… 46. .868S , doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 70960 , MR 0120283 , PMC 222949 , PMID 16590684
Suzuki, Michio (1962), „O klasie grup podwójnie przechodnich”, Annals of Mathematics , Second Series, 75 (1): 105–145, doi : 10.2307/1970423 , hdl : 2027/mdp.39015095249804 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 1970423 , MR 0136646
Cycki, Jacques (1962), „Ovoïdes et groupes de Suzuki”, Archiv der Mathematik , 13 : 187–198, doi : 10.1007/BF01650065 , ISSN 0003-9268 , MR 0140572 , S2CID 121482873
Wilson, Robert A. (2010), „Nowe podejście do grup Suzuki”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 148 (3): 425–428, doi : 10.1017 / S0305004109990399 , ISSN 0305-0041 , MR 2609300 , S2CID 18046565

Linki zewnętrzne