zespół Zassenhausa
W matematyce grupa Zassenhausa , nazwana na cześć Hansa Zassenhausa , jest pewnym rodzajem podwójnie przechodniej grupy permutacyjnej, bardzo blisko spokrewnionej z grupami rangi 1 typu Liego .
Definicja
Grupa Zassenhausa to grupa permutacji G na skończonym zbiorze X o następujących trzech właściwościach:
- G jest podwójnie przechodnie.
- Nietrywialne elementy G ustalają co najwyżej dwa punkty.
- G nie ma regularnej normalnej podgrupy . („Regularny” oznacza, że nietrywialne elementy nie ustalają żadnych punktów X ; porównaj swobodne działanie .)
Stopień grupy Zassenhausa to liczba elementów X .
Niektórzy autorzy pomijają trzeci warunek, że G nie ma regularnej normalnej podgrupy. Warunek ten ma na celu wyeliminowanie niektórych „zdegenerowanych” przypadków. Dodatkowymi przykładami, które można uzyskać, pomijając to, są albo grupy Frobeniusa , albo pewne grupy stopnia 2 p i rzędu 2 p (2 p - 1) p dla liczby pierwszej p , które są generowane przez wszystkie odwzorowania półliniowe i automorfizmy Galois pola rzędu 2 str .
Przykłady
Niech q = p f będzie potęgą liczby pierwszej p i zapiszemy F q dla skończonego ciała rzędu q . Suzuki udowodnił, że każda grupa Zassenhausa należy do jednego z następujących czterech typów:
- Rzutowa specjalna grupa liniowa PSL 2 ( F q ) dla q > 3 nieparzyste, działająca na q + 1 punktach prostej rzutowej. Ma porządek ( q + 1) q ( q - 1)/2.
- Rzutowa ogólna grupa liniowa PGL 2 ( F q ) dla q > 3. Ma rząd ( q + 1) q ( q − 1).
- Pewna grupa zawierająca PSL 2 ( F q ) o indeksie 2, dla q nieparzysty kwadrat. Ma rząd ( q + 1) q ( q - 1).
- Grupa Suzuki Suz( F q ) dla q potęgi 2, która wynosi co najmniej 8, a nie kwadrat. Kolejność to ( q 2 + 1) q 2 ( q − 1)
Stopień tych grup wynosi q + 1 w pierwszych trzech przypadkach, q 2 + 1 w ostatnim przypadku.
Dalsza lektura
- Grupy skończone III (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften Series, tom 243), B. Huppert, N. Blackburn, ISBN 0-387-10633-2