Reprezentacja Steinberga

W matematyce reprezentacja Steinberga , moduł Steinberga lub postać Steinberga , oznaczona przez St , jest szczególną liniową reprezentacją redukcyjnej grupy algebraicznej na polu skończonym lub polu lokalnym lub grupy z parą BN . Jest to analogiczne do jednowymiarowej reprezentacji znaku ε Coxetera lub Weyla , która przenosi wszystkie odbicia do –1.

W przypadku grup na ciałach skończonych reprezentacje te zostały wprowadzone przez Roberta Steinberga ( 1951 , 1956 , 1957 ), najpierw dla ogólnych grup liniowych, następnie dla grup klasycznych, a następnie dla wszystkich grup Chevalleya , z konstrukcją, która natychmiast uogólniła się na inne grupy typu Lie, które wkrótce potem odkryli Steinberg, Suzuki i Ree. Na skończonym polu o charakterystyce p reprezentacja Steinberga ma stopień równy największej potędze p dzielącej rząd grupy.

Reprezentacja Steinberga jest podwójną reprezentacją Alvisa-Curtisa trywialnej jednowymiarowej reprezentacji.

Matsumoto (1969) , Shalika (1970) i ​​Harish-Chandra (1973) zdefiniowali analogiczne reprezentacje Steinberga (czasami nazywane reprezentacjami specjalnymi ) dla grup algebraicznych w ciałach lokalnych . Dla ogólnej grupy liniowej GL(2) wymiar modułu Jacqueta reprezentacji specjalnej wynosi zawsze jeden.

Reprezentacja Steinberga skończonej grupy

• Wartość znaku St na elemencie g jest równa, aż do znaku, rządowi podgrupy Sylowa centralizatora g , jeśli g ma rząd pierwszy do p i wynosi zero, jeśli rząd g jest podzielny przez p .
• Reprezentacja Steinberga jest równa naprzemiennej sumie wszystkich podgrup parabolicznych zawierających podgrupę borelowską reprezentacji indukowanej z reprezentacji tożsamościowej podgrupy parabolicznej.
• Reprezentacja Steinberga jest zarówno regularna, jak i unipotentna i jest jedyną nieredukowalną regularną reprezentacją unipotentną (dla danej liczby pierwszej p ).
• Reprezentacja Steinberga jest używana w dowodzie twierdzenia Habousha (przypuszczenie Mumforda).

Większość skończonych grup prostych ma dokładnie jedną reprezentację Steinberga. Kilku ma więcej niż jedną, ponieważ są grupami typu Kłamstwa na więcej niż jeden sposób. Dla grup symetrycznych (i innych grup Coxetera) reprezentacja znaku jest analogiczna do reprezentacji Steinberga. Niektóre ze sporadycznych grup prostych działają jako podwójnie przechodnie grupy permutacyjne, więc mają parę BN, dla której można zdefiniować reprezentację Steinberga, ale dla większości sporadycznych grup nie ma znanego jej odpowiednika.

Reprezentacja Steinberga grupy p -adycznej

Matsumoto (1969) , Shalika (1970) i ​​Harish-Chandra (1973) wprowadzili reprezentacje Steinberga dla grup algebraicznych na polach lokalnych . Casselman (1973) wykazał, że różne sposoby definiowania reprezentacji Steinberga są równoważne. Borel i Serre (1976) i Borel (1976) pokazali, jak zrealizować reprezentację Steinberga w grupie kohomologii H
^l _c ( X ) budynku grupy Bruhat-Tits .

•    Borel, Armand (1976), „Dopuszczalne reprezentacje półprostej grupy nad polem lokalnym z wektorami ustalonymi pod podgrupą Iwahori”, Inventiones Mathematicae , 35 : 233–259, doi : 10.1007 / BF01390139 , ISSN 0020-9910 , MR 0444849
•    Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1976), "Cohomologie d'immeubles et de groupes S-arithmétiques", Topologia , 15 (3): 211–232, doi : 10.1016/0040-9383 (76) 90037-9 , ISSN 0040- 9383 , MR 0447474
•    Bump, Daniel (1997), Automorficzne formy i reprezentacje , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 55, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511609572 , ISBN 978-0-521-55098-7 , MR 1431508
•   Skończone grupy kłamstw typu: klasy koniugacji i złożone postacie (Wiley Classics Library) autorstwa Rogera W. Cartera, John Wiley & Sons Inc; Nowe wydanie Ed (sierpień 1993) ISBN 0-471-94109-3
•    Casselman, W. (1973), „Steinberg charakter jako prawdziwy charakter”, w: Moore, Calvin C. (red.), Analiza harmoniczna w przestrzeniach jednorodnych (Williams Coll., Williamstown, Massachusetts, 1972) , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, tom. XXVI, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 413–417, ISBN 978-0-8218-1426-0 , MR 0338273
•    Harish-Chandra (1973), „Analiza harmoniczna na redukcyjnych grupach p-adycznych”, w: Moore, Calvin C. (red.), Analiza harmoniczna na przestrzeniach jednorodnych (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll. , Williamstown, MA, 1972) , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, tom. XXVI, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 167–192, ISBN 978-0-8218-1426-0 , MR 0340486
•    Matsumoto, Hideya (1969), „Fonctions sphériques sur un groupe semi-simple p-adique”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A829––A832, ISSN 0151-0509 , MR 0263977
•     Shalika, JA (1970), „O przestrzeni form wierzchołkowych grupy P-adic Chevalley”, Annals of Mathematics , druga seria, 92 (2): 262–278, doi : 10.2307/1970837 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970837 , MR 0265514
• Steinberg, Robert (2001) [1994], „Moduł Steinberga” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•     Steinberg, Robert (1951), „Geometryczne podejście do reprezentacji pełnej grupy liniowej na polu Galois”, Transactions of the American Mathematical Society , 71 (2): 274–282, doi : 10.1090 / S0002-9947-1951 -0043784-0 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990691 , MR 0043784
•    Steinberg, Robert (1956), „Pierwsze reprezentacje potęgowe skończonych grup liniowych” , Canadian Journal of Mathematics , 8 : 580–591, doi : 10,4153 / CJM-1956-063-3 , ISSN 0008-414X , MR 0080669
• Steinberg, R. (1957), „Pierwsze reprezentacje potęgowe skończonych grup liniowych II”, Can. J. Matematyka. , 9 : 347–351, doi : 10.4153/CJM-1957-041-1
•   R. Steinberg, Dokumenty zebrane , Amer. Matematyka soc. (1997) ISBN 0-8218-0576-2 s. 580–586
•   Humphreys, JE (1987), „Reprezentacja Steinberga” , Bull. Amer. Matematyka soc. (NS) , 16 (2): 237–263, doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15512-1 , MR 0876960