Sporadyczna grupa Thompsona

W obszarze współczesnej algebry znanej jako teoria grup , grupa Thompsona Th jest sporadyczną prostą grupą rzędu

2 ¹⁵ · 3 ¹⁰ · 5 ³ · 7 ² · 13 · 19 · 31

= 90745943887872000

≈ 9 × 10 ¹⁶ .

Historia

to jedna z 26 grup sporadycznych, odkryta przez Johna G. Thompsona ( 1976 ) i skonstruowana przez Smitha (1976) . Skonstruowali ją jako grupę automorfizmów pewnej sieci w 248-wymiarowej algebrze Liego E ₈ . Nie zachowuje nawiasu Liego tej sieci, ale zachowuje mod 3 nawiasu Liego, podobnie jak podgrupa grupy Chevalley E ₈ (3). Podgrupa zachowująca nawias Liego (nad liczbami całkowitymi) to maksymalna podgrupa grupy Thompsona zwana grupą Dempwolffa (która w przeciwieństwie do grupy Thompsona jest podgrupą zwartej grupy Liego E ₈ ).

Reprezentacje

Centralizator elementu rzędu 3 typu 3C w grupie Monster jest iloczynem grupy Thompsona i grupy rzędu 3, w wyniku czego grupa Thompsona działa na algebrze operatora wierzchołków na polu z 3 elementami. Ta algebra operatorów wierzchołków zawiera algebrę Lie E ₈ nad F ₃ , dającą osadzenie Th w E ₈ (3).

Mnożnik Schura i zewnętrzna grupa automorfizmu grupy Thompsona są trywialne.

Uogólniony monstrualny bimber

Conway i Norton zasugerowali w swoim artykule z 1979 roku, że monstrualny bimber nie ogranicza się do potwora, ale że podobne zjawiska można znaleźć w innych grupach. Larissa Queen i inni odkryli następnie, że można skonstruować rozszerzenia wielu Hauptmoduln z prostych kombinacji wymiarów grup sporadycznych. Dla Th odpowiedni szereg McKay-Thompsona to ${\ Displaystyle T_ {3C} (\ tau)}$ ( OEIS : A007245 ), T 3 do ( τ ) {\ Displaystyle T_ {3C} (\ tau)}

{\ Displaystyle T_ {3C} (\ tau) = {\ duży (} j (3 \ tau) {\ duży)} ^ {1/3} = {\ Frac {1} {q}} \, + \, 248q^{2}\,+\,4124q^{5}\,+\,34752q^{8}\,+\,213126q^{11}\,+\,1057504q^{14}+\cdots \, }

a j ( τ ) jest niezmiennikiem j .

Maksymalne podgrupy

Linton (1989) znalazł 16 klas koniugacji maksymalnych podgrup Th w następujący sposób:

2 ₊¹⁺⁸ · A ₉
2 ⁵ · L ₅ (2) To jest grupa Dempwolffa
(3 x G ₂ (3)) : 2
(3 ³ × 3 ₊¹⁺² ) · 3 ₊¹⁺² : 2 S ₄
3 ² · 3 ⁷ : 2 S ₄
(3 × 3 ⁴ : 2 · A ₆ ) : 2
5 ₊^{1 + 2} : 4 S ₄
5 ² : GL ₂ (5)
7 ² : (3 × 2 S ₄ )
31 : 15
³ re ₄ (2): 3
U ₃ (8): 6
L ₂ (19)
Ł ₃ (3)
M ₁₀
S ₅

Linton, Stephen A. (1989), „Maksymalne podgrupy grupy Thompsona”, Journal of the London Mathematical Society , druga seria, 39 (1): 79–88, doi : 10.1112/jlms/s2-39.1.79 , ISSN 0024-6107 , MR 0989921
Smith, PE (1976), „Prosta podgrupa Mū i E ₈ (3)”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 8 (2): 161–165, doi : 10.1112/blms/8.2.161 , ISSN 0024-6093 , MR 0409630
Thompson, John G. (1976), „Twierdzenie o koniugacji dla E ₈ ”, Journal of Algebra , 38 (2): 525–530, doi : 10.1016/0021-8693 (76) 90235-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0399193

Linki zewnętrzne