Twierdzenie Burnside'a

Williama Burnside'a.

W matematyce twierdzenie Burnside'a w teorii grup stwierdza, że jeśli $liczbami$ jest skończoną grupą rzędu , gdzie p i pierwszymi , a a i są nie -ujemne liczby całkowite , to G jest rozwiązywalne . Stąd każda nieabelowa skończona grupa prosta ma porządek podzielny przez co najmniej trzy różne liczby pierwsze.

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione przez Williama Burnside'a ( 1904 ) przy użyciu teorii reprezentacji grup skończonych . Kilka szczególnych przypadków twierdzenia zostało wcześniej udowodnionych przez Burnside'a, Jordana i Frobeniusa. ^{[ kiedy? ]} John Thompson zwrócił uwagę, że dowód unikający stosowania teorii reprezentacji można wydobyć z jego pracy nad twierdzeniem o grupach N, co zostało wyraźnie zrobione przez Goldschmidta (1970) dla grup nieparzystego rzędu i przez Bendera (1972) dla grupy parzystego rzędu. Matsuyama (1973) uprościł dowody.

Dowód

Poniższy dowód — wykorzystujący więcej tła niż Burnside — jest sprzeczny . Niech p ^a q ^b będzie najmniejszym iloczynem dwóch potęg pierwszych, takim, że istnieje nierozwiązywalna grupa G , której rząd jest równy tej liczbie.

G jest prostą grupą z trywialnym środkiem i a nie jest równe zeru.

Gdyby G miało nietrywialną właściwą podgrupę normalną H , to (ze względu na minimalność G ) H i G / H byłyby rozwiązywalne, więc G również byłoby sprzeczne z naszym założeniem. Zatem G jest proste.

Gdyby a wynosiło zero, G byłoby skończoną grupą q , stąd nilpotentną , a zatem rozwiązalną.

Podobnie G nie może być abelowe, w przeciwnym razie byłoby rozwiązywalne. Ponieważ G jest proste, jego środek musi być trywialny.

Istnieje element g z G , który ma q ^d koniugaty , dla pewnego d > 0.

pa ^Zgodnie z pierwszym stwierdzeniem twierdzenia Sylowa G ma podgrupę S rzędu . Ponieważ S jest nietrywialną grupą p , jej centrum Z ( S ) jest nietrywialne. Napraw nietrywialny element ${\ Displaystyle g \ in Z (S)}$ . Liczba koniugatów g qb ^jest równa indeksowi jego podgrupy stabilizującej Gg _jest Gg _, który dzieli indeks S (ponieważ S podgrupą ). Stąd liczba ta ma postać q ^d . Co więcej, liczba całkowita d jest ściśle dodatnia, ponieważ g jest nietrywialne, a zatem nie jest centralne w G .

Istnieje nietrywialna nieredukowalna reprezentacja ρ o znaku χ, taka, że jej wymiar n nie jest podzielny przez q , a liczba zespolona χ ( g ) jest różna od zera.

Niech ( χ ja ₎ 1 _{≤ ja ≤ h} $będzie$ rodziną nieredukowalnych znaków ₍ tutaj χ oznacza trywialny charakter) . Ponieważ g nie należy do tej samej klasy koniugacji co 1, relacja ortogonalności dla kolumn tabeli znaków grupy daje:

{\ Displaystyle 0 = \ suma _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (1) \ chi _ {i} (g) = 1 + \ suma _ {i = 2} ^ {h} \chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}

Teraz χ _i ( g ) są algebraicznymi liczbami całkowitymi , ponieważ są sumami pierwiastków jedności . Jeśli wszystkie nietrywialne nieredukowalne znaki, które nie znikają w g , przyjmą wartość podzielną przez q przy 1, wywnioskujemy, że

{\ Displaystyle - {\ Frac {1} {q}} = \ suma _ {i \ geq 2, ~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)}

jest algebraiczną liczbą całkowitą (ponieważ jest sumą całkowitych wielokrotności algebraicznych liczb całkowitych), co jest absurdem. To potwierdza stwierdzenie.

Liczba zespolona q ^d χ ( g )/ n jest algebraiczną liczbą całkowitą.

Zbiór funkcji klas o wartościach całkowitych na sol , Z ( [ $sol$ ]), jest pierścieniem przemiennym , skończenie generowanym przez $}}$ \ displaystyle \ mathbb { . Wszystkie jego elementy są zatem integralne po $,$ w szczególności odwzorowanie u które przyjmuje wartość 1 w klasie koniugacji g i 0 gdzie indziej.

Odwzorowanie ${\ Displaystyle A: Z (\ mathbb {Z} [G]) \ strzałka w prawo \ nazwa operatora {Koniec} (\ mathbb {C} ^ {n })}$ , który wysyła funkcję klasy f do

{\ Displaystyle \ suma _ {s \ w G} f (s) \ rho (s)}

jest homomorfizmem pierścienia. Ponieważ ρ ( s ) ⁻¹ A ( u ) ρ ( s ) = A ( u ) dla wszystkich s , lemat Schura implikuje, że A ( u ) jest jednorodnością λI _n . Jego ślad nλ jest równy

{\ Displaystyle \ suma _ {s \ w G} f (s) \ chi (s) = q ^ {d} \ chi (g).}

Ponieważ jednorodność λI _n jest homomorficznym obrazem elementu całkowego, dowodzi to, że liczba zespolona λ = q ^d χ ( g )/ n jest algebraiczną liczbą całkowitą.

Liczba zespolona χ ( g )/ n jest algebraiczną liczbą całkowitą.

Ponieważ q jest względnie pierwsze z n , dzięki tożsamości Bézouta istnieją dwie liczby całkowite x i y takie, że:

{\ Displaystyle xq ^ {d} + yn = 1 \ quad {\ tekst {dlatego}} \ quad {\ Frac {\ chi (g)}} {n}} = x {\ Frac {q ^ {d} \ chi (g)}{n}}+y\chi (g).}

Ponieważ liniowa kombinacja ze współczynnikami całkowitymi algebraicznych liczb całkowitych jest ponownie algebraiczną liczbą całkowitą, potwierdza to stwierdzenie.

Obraz g pod reprezentacją ρ jest jednorodnością.

Niech ζ będzie liczbą zespoloną χ ( g )/ n . Jest to algebraiczna liczba całkowita, więc jej norma $)$ ( ζ ) (tj. iloczyn jej koniugatów , czyli pierwiastki jego minimalnego wielomianu po jest niezerową liczbą całkowitą. Teraz ζ jest średnią pierwiastków jedności (wartości własne ρ ( g )), stąd też są jej koniugaty, więc wszystkie mają wartość bezwzględną mniejszą lub równą 1. Ponieważ wartość bezwzględna ich iloczynu N ( ζ ) jest większa lub równa 1, to wszystkie ich wartości bezwzględne muszą wynosić 1, w szczególności ζ , co oznacza, że wszystkie wartości własne ρ ( g ) są równe, więc ρ ( g ) jest jednorodnością.

Wniosek

Niech N będzie jądrem ρ . Jednorodność ρ ( g ) jest centralna w Im ( ρ ) (która jest kanonicznie izomorficzna z G / N ), podczas gdy g nie jest centralna w G . W konsekwencji podgrupa normalna N grupy prostej G jest nietrywialna, a więc równa się G , co przeczy faktowi, że ρ jest reprezentacją nietrywialną.

Ta sprzeczność dowodzi twierdzenia.

Bender, Helmut (1972), „Teoretyczny dowód grupowy twierdzenia Burnside'a p ^a q ^b -”, Math. Z. , 126 (4): 327–338, doi : 10.1007/bf01110337 , MR 0322048 , S2CID 119821947
Burnside, W. (1904), "O grupach porządku p ^α q ^β " , Proc. Matematyka Londynu. soc. (s2-1 (1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388
^David M. (1970), „Grupowy teoretyczny dowód twierdzenia pa ^q b dla nieparzystych liczb pierwszych”, Math. Z. , 113 (5): 373–375, doi : 10.1007/bf01110506 , MR 0276338 , S2CID 123625253
Jakub, Gordon; i Liebeck, Martin (2001). Reprezentacje i postacie grup (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-00392-X . Patrz rozdział 31.
Matsuyama, Hiroshi (1973), „Rozwiązywalność grup rzędu 2 ^a q ^b .”, Osaka J. Math. , 10 : 375–378, MR 0323890