Trzymana grupa

W obszarze współczesnej algebry znanej jako teoria grup , grupa Helda He jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 ² · 7 ³ · 17 = 4030387200

≈ 4 × 10 ⁹ .

Historia

on jedną z 26 grup sporadycznych i został znaleziony przez Dietera Helda ( 1969a , 1969b ) podczas badania prostych grup zawierających inwolucję, której centralizator jest izomorficzny z inwolucją w grupie Mathieu _M24 . Drugą taką grupą jest grupa liniowa L ₅ (2). Grupa Held to trzecia możliwość, a jej budowę ukończyli John McKay i Graham Higman .

Zewnętrzna grupa automorfizmu ma rząd 2, a mnożnik Schura jest trywialny.

Reprezentacje

Najmniejsza wierna złożona reprezentacja ma wymiar 51; istnieją dwie takie reprezentacje, które są swoimi dualami.

Centralizuje element rzędu 7 w grupie potworów . W rezultacie liczba pierwsza 7 odgrywa szczególną rolę w teorii grup; na przykład najmniejszą reprezentacją grupy Held na dowolnym polu jest 50-wymiarowa reprezentacja na polu z 7 elementami i działa ona naturalnie na algebrze operatora wierzchołków na polu z 7 elementami.

Najmniejszą reprezentacją permutacji jest działanie rangi 5 na 2058 punktach ze stabilizatorem punktu Sp ₄ (4):2.

Grupa automorfizmów He:2 grupy Held He jest podgrupą grupy Fischera Fi ₂₄ .

Uogólniony monstrualny bimber

Conway i Norton zasugerowali w swoim artykule z 1979 roku, że monstrualny bimber nie ogranicza się do potwora, ale że podobne zjawiska można znaleźć w innych grupach. Larissa Queen i inni odkryli następnie, że można skonstruować rozszerzenia wielu Hauptmoduln z prostych kombinacji wymiarów grup sporadycznych. Dla He odpowiedni szereg McKaya-Thompsona to gdzie można ustawić stały składnik a (0) = 10 ( OEIS : A007264 ), ${\ Displaystyle T_ {7A} (\ tau)}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} j_ {7A} (\ tau) & = T_ {7A} (\ tau) + 10 \\& =\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau)}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta (7\tau) )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+ 681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\kropki \end{wyrównane}}}

a η ( τ ) jest funkcją eta Dedekinda .

Prezentacja

Można go zdefiniować za pomocą generatorów a i b oraz relacji

{\ Displaystyle a ^ {2} = b ^ {7} = (ab) ^ {17} = [a, b ]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{ 2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}

Maksymalne podgrupy

Butler (1981) znalazł 11 klas koniugacji maksymalnych podgrup He w następujący sposób:

S ₄ (4): 2
2 ² .L ₃ (4).S ₃
2 ⁶ :3.S ₆
2 ⁶ :3.S ₆
2 ¹⁺⁶ .L ₃ (2)
7 ² :2.P ₂ (7)
3.S ₇
7 ¹⁺² :(3 × S ₃ )
S ₄ × D ₃ (2)
7:3 × dł. ₃ (2)
5 ² :4A ₄

Butler, Gregory (1981), „Maksymalne podgrupy sporadycznej grupy prostej Helda”, Journal of Algebra , 69 (1): 67–81, doi : 10.1016/0021-8693 (81) 90127-7 , ISSN 0021- 8693 , MR 0613857
Held, D. (1969a), „Niektóre proste grupy związane z M ₂₄ ”, w: Brauer, Richard; Shah, Chih-Han (red.), Teoria grup skończonych: sympozjum , WA Benjamin
Held, Dieter (1969b), „Proste grupy związane z M ₂₄ ”, Journal of Algebra , 13 (2): 253–296, doi : 10.1016/0021-8693 (69) 90074-X , MR 0249500
Ryba, AJE (1988), „Obliczanie 7-modułowych znaków grupy Held”, Journal of Algebra , 117 (1): 240–255, doi : 10.1016/0021-8693 (88) 90252-9 , MR 0955602

Linki zewnętrzne