grupa Fischera Fi ₂₄

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Fischera Fi ₂₄ lub F ₂₄ ′ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ²¹ · 3 ¹⁶ · 5 ² · 7 ³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29

= 1255205709190661721292800

≈ 1 × 10 ²⁴ .

Historia i właściwości

Fi ₂₄ jest jedną z 26 grup sporadycznych i jest największą z trzech grup Fischera wprowadzonych przez Bernda Fischera ( 1971 , 1976 ) podczas badania grup 3 - transpozycji . Jest trzecią co do wielkości z grup sporadycznych (po grupie Monster i grupie Baby Monster).

Zewnętrzna grupa automorfizmów ma rząd 2, a mnożnik Schura ma rząd 3. Grupa automorfizmów to grupa 3-transpozycyjna Fi ₂₄ , zawierająca grupę prostą o indeksie 2.

Centralizatorem elementu rzędu 3 w grupie potworów jest potrójne pokrycie sporadycznej grupy prostej Fi ₂₄ , w wyniku czego liczba pierwsza 3 odgrywa w jej teorii szczególną rolę.

Reprezentacje

Centralizatorem elementu rzędu 3 w grupie potworów jest potrójne pokrycie grupy Fischera, w wyniku czego liczba pierwsza 3 odgrywa w jej teorii szczególną rolę. W szczególności działa na algebrze operatora wierzchołków na polu z 3 elementami.

Prosta grupa Fischera ma działanie rzędu 3 na grafie 306936 (=2 ³ .3 ³ .7 ² .29) wierzchołków odpowiadających 3-transpozycjom Fi ₂₄ , ze stabilizatorem punktowym grupy Fischera Fi23 .

Potrójne pokrycie ma złożoną reprezentację wymiaru 783. Po zmniejszeniu modulo 3 ma to 1-wymiarowe niezmienne podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe, co daje nieredukowalną reprezentację wymiaru 781 na polu z 3 elementami.

Uogólniony potworny bimber

Conway i Norton zasugerowali w swoim artykule z 1979 roku, że monstrualny bimber nie ogranicza się do potwora, ale że podobne zjawiska można znaleźć w innych grupach. Larissa Queen i inni odkryli następnie, że można skonstruować rozszerzenia wielu Hauptmoduln z prostych kombinacji wymiarów grup sporadycznych. Dla Fi ₂₄ (jak również Fi ₂₃ ) odpowiednim szeregiem McKaya-Thompsona jest ${\ Displaystyle T_ {3A} (\ tau)}$ gdzie można ustawić stały składnik a (0) = 42 ( OEIS : A030197 ),

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} j_ {3A} (\ tau) & = T_ {3A} (\ tau) + 42\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\ tfrac {\eta (2\tau)}{\eta (\tau)}}\right)^{6}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+42+ 783q+8672q^{2}+65367q^{3}+371520q^{4}+1741655q^{5}+\kropki \end{wyrównane}}}

Maksymalne podgrupy

Linton i Wilson (1991) znaleźli 22 klasy koniugacji maksymalnych podgrup Fi ₂₄ w następujący sposób:

Fi ₂₃ Centralizuje transpozycję 3 w grupie automorfizmów Fi ₂₄ .
2.Fi ₂₂ :2
(3 x O
⁺₈ (3):3):2
O
^–₁₀ (2)
3 ⁷ .O ₇ (3)
3 ¹⁺¹⁰ :U ₅ (2):2
2 ¹¹ .M ₂₄
2 ² .U ₆ (2):S ₃
2 ¹⁺¹² :3.U ₄ (3).2
3 ²⁺⁴⁺⁸ .(A ₅ x 2A ₄ ).2
( _A4 x O
⁺₈ (2):3):2
On: 2 (dwie klasy, połączone zewnętrznym automorfizmem)
2 ³⁺¹² .(L ₃ (2) x ZA ₆ )
2 ⁶⁺⁸ .(S ₃ x ZA ₈ )
(G ₂ (3) x 3 ² :2).2
(A ₉ x A ₅ ):2
7 x 7: ₆
[3 ¹³ ]:(L ₃ (3) x 2)
P ₂ (8): 3 x A ₆
U ₃ (3): 2 (Dwie klasy połączone zewnętrznym automorfizmem)
L ₂ (13): 2 (Dwie klasy połączone zewnętrznym automorfizmem)
29:14

Aschbacher, Michael (1997), grupy 3-transpozycji , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 124, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN 978-0-521-57196-8 , MR 1423599 zawiera kompletny dowód twierdzenia Fischera.
Fischer, Bernd (1971), „Grupy skończone generowane przez 3-transpozycje. I”, Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487 To jest pierwsza część Preprint Fischera dotyczący budowy jego grup. Pozostała część artykułu jest niepublikowana (od 2010 r.).
Fischer, Bernd (1976), Grupy skończone generowane przez 3-transpozycje , Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick
Linton, Stephen A.; Wilson, Robert A. (1991), „Maksymalne podgrupy grup Fischera Fi ₂₄ i Fi ₂₄ ' ”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 63 (1): 113–164, doi : 10,1112 / plms / s3-63.1.113 , ISSN 0024-6115 , MR 1105720
Wilson, Robert A. (2009), Skończone proste grupy , Graduate Texts in Mathematics 251, tom. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012
Wilson, RA ATLAS reprezentacji grup skończonych.

Linki zewnętrzne

grupa Fischera Fi 24