grupa Fischera Fi ₂₃

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Fischera Fi ₂₃ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ¹⁸ · 3 ¹³ · 5 ² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23

= 4089470473293004800

≈ 4 × 10 ¹⁸ .

Historia

Fi ₂₃ jest jedną z 26 grup sporadycznych i jest jedną z trzech grup Fischera wprowadzonych przez Bernda Fischera ( 1971 , 1976 ) podczas badania grup 3 - transpozycji .

mnożnik Schura , jak i zewnętrzna grupa automorfizmów są trywialne .

Reprezentacje

Grupa Fischera Fi ₂₃ ma działanie rzędu 3 na grafie 31671 wierzchołków odpowiadających 3-transpozycjom, ze stabilizatorem punktowym podwójnym pokryciem grupy Fischera Fi22 . Ma drugą akcję rangi 3 na 137632 punktów

Najmniejsza wierna złożona reprezentacja ma wymiar ${\ displaystyle 782}$ . Grupa ma nieredukowalną reprezentację wymiaru 253 na polu z 3 elementami.

Uogólniony potworny bimber

Conway i Norton zasugerowali w swoim artykule z 1979 roku, że monstrualny bimber nie ogranicza się do potwora, ale że podobne zjawiska można znaleźć w innych grupach. Larissa Queen i inni odkryli następnie, że można skonstruować rozszerzenia wielu Hauptmoduln z prostych kombinacji wymiarów grup sporadycznych. Dla Fi ₂₃ odpowiedni szereg McKaya-Thompsona to gdzie można ustawić stały składnik a (0) = 42 ( OEIS : A030197 ), ${\ Displaystyle T_ {3A} (\ tau)}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} j_ {3A} (\ tau) & = T_ {3A} (\ tau) + 42 \\& =\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau)}}\right)^{6}+3^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^ {2}+65367q^{3}+371520q^{4}+\dots \end{aligned}}}

a η ( τ ) jest funkcją eta Dedekinda .

Maksymalne podgrupy

Kleidman, Parker & Wilson (1989) znaleźli 14 klas koniugacji maksymalnych podgrup Fi ₂₃ w następujący sposób:

2. Fi ₂₂
O ₈⁺ (3): S ₃
2 ² .U ₆ (2).2
S ₈ (2)
O ₇ (3) × S ₃
2 ¹¹ .M ₂₃
3 ¹⁺⁸ .2 ¹⁺⁶ .3 ¹⁺² .2S ₄
[3 ¹⁰ ].(L ₃ (3) × 2)
S ₁₂
(2 ² × 2 ¹⁺⁸ ).(3 × U ₄ (2)).2
2 ⁶⁺⁸ :(A ₇ × S ₃ )
S ₆ (2) × S ₄
S ₄ (4): 4
L ₂ (23)

Aschbacher, Michael (1997), grupy 3-transpozycji , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 124, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN 978-0-521-57196-8 , MR 1423599 zawiera kompletny dowód twierdzenia Fischera.
Fischer, Bernd (1971), „Grupy skończone generowane przez 3-transpozycje. I”, Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487 To jest pierwsza część Preprint Fischera dotyczący budowy jego grup. Pozostała część artykułu jest niepublikowana (od 2010 r.).
Fischer, Bernd (1976), Grupy skończone generowane przez 3-transpozycje , Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick
Kleidman, Peter B.; Parker, Richard A.; Wilson, Robert A. (1989), „Maksymalne podgrupy grupy Fischera Fi₂₃”, Journal of the London Mathematical Society , druga seria, 39 (1): 89–101, doi : 10,1112 / jlms / s2-39.1.89 , ISSN 0024-6107 , MR 0989922
Wilson, Robert A. (2009), Skończone proste grupy , Graduate Texts in Mathematics 251, tom. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012
Wilson, RA ATLAS reprezentacji skończonych grup.

Linki zewnętrzne

grupa Fischera Fi 23