Twierdzenie Z*

W matematyce twierdzenie Z* George'a Glaubermana brzmi następująco:

Twierdzenie Z*: Niech G będzie grupą skończoną , gdzie O ( G ) będzie jej maksymalną podgrupą normalną nieparzystego rzędu . Jeśli T jest podgrupą Sylowa 2 G zawierającą inwolucję nieskoniugowaną w G z żadnym innym elementem T , to inwolucja leży w Z * ( G ), która jest odwrotnym obrazem w G z centrum G / O ( G ) .

To uogólnia twierdzenie Brauera – Suzuki (a dowód wykorzystuje twierdzenie Brauera – Suzuki do radzenia sobie z niektórymi małymi przypadkami).

Detale

Oryginalna praca Glaubermana (1966) podała kilka kryteriów dla elementu leżącego poza Z* ( G ). Jego twierdzenie 4 stwierdza:

Dla elementu t w T konieczne i wystarczające jest, aby t leżało poza Z* ( G ), aby w G było jakieś g i abelowa podgrupa U z T spełniająca następujące własności:

g normalizuje zarówno U, CT _jak i centralizator CT _N ( U ), czyli g jest zawarte w = N G ₍ U ) ∩ N _G ( ( U ))

t jest zawarte w U i tg ≠ gt

U jest generowane przez N -koniugaty t

wykładnik U jest równy rzędowi t _ _

Ponadto g może być wybrane jako pierwsze w kolejności potęgi, jeśli t jest w środku T , a g może być wybrane w T w przeciwnym razie.

Prostym wnioskiem jest to, że element t w T nie jest w Z* ( G ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewne s ≠ t takie, że s i t dojeżdżają do pracy, a s i t są sprzężone z G.

Uogólnienie na nieparzyste liczby pierwsze odnotowano w Guralnick i Robinson (1993) : jeśli t jest elementem rzędu pierwszego p , a komutator [ t , g ] ma rząd względnie pierwszy do p dla wszystkich g , to t jest centralnym modulo p ′- rdzeń . Zostało to również uogólnione na nieparzyste liczby pierwsze i zwarte grupy Liego w Mislin i Thévenaz (1991) , który zawiera również kilka przydatnych wyników w przypadku skończonym.

Henke i Semeraro (2015) badali również rozszerzenie twierdzenia Z* na pary grup ( G , H ) z H normalną podgrupą G .

Prace cytowane

Dade, Everett C. (1971), „Teoria znaków odnosząca się do skończonych grup prostych”, w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Skończone grupy proste. Materiały z konferencji instruktażowej zorganizowanej przez London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969 , Boston, MA: Academic Press , s. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0360785 daje szczegółowy dowód twierdzenia Brauera – Suzuki.
Glauberman, George (1966), „Centralne elementy w grupach bezrdzeniowych”, Journal of Algebra , 4 (3): 403–420, doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90030-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0202822 , Zbl 0145.02802
Guralnick, Robert M.; Robinson, Geoffrey R. (1993), „O rozszerzeniach twierdzenia Baera-Suzuki”, Israel Journal of Mathematics , 82 (1): 281–297, doi : 10.1007 / BF02808114 , ISSN 0021-2172 , MR 1239051 , Zbl 0794.20029
Henke, Ellen; Semeraro, Jason (1 października 2015). „Centralizatory normalnych podgrup i twierdzenie Z *” . Dziennik algebry . 439 : 511–514. ar Xiv : 1411.1932 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.06.027 .
Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), „Twierdzenie Z * dla zwartych grup Liego” , Mathematische Annalen , 291 (1): 103–111, doi : 10.1007 / BF01445193 , ISSN 0025-5831 , MR 1125010