Janko grupa J 2

Aby zapoznać się z ogólnym pochodzeniem i historią sporadycznych grup Janko, zobacz grupę Janko .

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Janko J 2 _lub grupa Halla-Janko HJ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

    2 ⁷ · 3 ³ · 5 ² · 7 = 604800

≈ 6 × 10 ⁵ .

Historia i właściwości

J ₂ jest jedną z 26 grup Sporadycznych i jest również nazywana grupą Hall-Janko-Wales . W 1969 roku Zvonimir Janko przewidział J ₂ jako jedną z dwóch nowych grup prostych mających 2 ¹⁺⁴ :A ₅ jako centralizator inwolucji (druga to grupa Janko J3 ). Została skonstruowana przez Halla i Walesa ( 1968 ) jako grupa permutacji rangi 3 na 100 punktów.

₀ Zarówno mnożnik Schura , jak i zewnętrzna grupa automorfizmów mają rząd 2. Jako grupa permutacji na 100 punktach J ₂ ma inwolucje przesuwające wszystkie 100 punktów i inwolucje przesuwające się tylko o 80 punktów. Poprzednie inwolucje są iloczynami 25 podwójnych transportów, liczby nieparzystej, a więc windy do 4-elementów w podwójnej pokrywie 2.A ₁₀₀ . Podwójne pokrycie 2.J ₂ występuje jako podgrupa grupy Conwaya Co .

J ₂ jest jedyną z 4 grup Janko, która jest podilorazem grupy potworów ; jest zatem częścią tego, co Robert Griess nazywa Szczęśliwą Rodziną. Ponieważ występuje również w grupie Conwaya Co1 , jest zatem częścią drugiego pokolenia Szczęśliwej Rodziny.

Reprezentacje

Jest to podgrupa drugiego indeksu grupy automorfizmów wykresu Halla-Janko , prowadząca do reprezentacji permutacji stopnia 100. Jest to również podgrupa drugiego indeksu grupy automorfizmów Halla-Janko Near Octagon , prowadząc do reprezentacji permutacji stopnia 315.

Ma modułową reprezentację wymiaru szóstego na polu czterech elementów; jeśli w charakterystyce drugiej mamy w ² + w + 1 = 0 , to J ₂ jest generowane przez dwie macierze

${\ Displaystyle {\ mathbf {A}} = {\ rozpocząć {pmatrix} w ^ {2} i w ^ {2} i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i w ^ {2} i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1 i w ^ {2} i w ^ {2} i 0 i 0 \ \w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmacierz}}}$

I

${\ Displaystyle {\ mathbf {B}} = {\ rozpocząć {pmatrix} w & 1 & w ^ {2} i 1 & w ^ {2} & w ^ {2} \\ w & 1 & w & 1 i 1 & w \\ w & w & w ^ {2} i w ^ {2} i 1 & 0 \\ 0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\koniec{pmacierz}}.}$

Macierze te spełniają równania

${\ Displaystyle {\ mathbf {A}} ^ {2} = {\ mathbf {B}} ^ {3} = ({\mathbf {A} }{\mathbf {B}})^{7}=({\mathbf {A}}} {\mathbf {B}}} {\mathbf {A}}} {\mathbf {B}} {\mathbf {B}})^{12}=1.}$

(Zauważ, że mnożenie macierzy na skończonym polu rzędu 4 jest definiowane nieco inaczej niż zwykłe mnożenie macierzy. Zobacz pole skończone § Pole z czterema elementami dla konkretnych tablic dodawania i mnożenia, gdzie w to samo co a i w ² to samo co 1 + za .)

J ₂ jest zatem grupą Hurwitza , skończonym homomorficznym obrazem grupy trójkątów (2,3,7) .

   Podana powyżej reprezentacja macierzowa stanowi osadzenie w grupie Dicksona G ₂ (4) . Jest tylko jedna klasa koniugacji J ₂ w G ₂ (4). Każda podgrupa J ₂ zawarta w G ₂ (4) rozciąga się na podgrupę J ₂ :2 = Aut(J ₂ ) w G ₂ (4):2 = Aut( G ₂ (4)) ( G ₂ (4) rozszerzona o automorfizmy polowe F ₄ ). G ₂ (4) jest z kolei izomorficzne z podgrupą grupy Conwaya Co ₁ .

Maksymalne podgrupy

Istnieje 9 klas ₂ koniugacji maksymalnych podgrup J . Niektóre są tutaj opisane w kategoriach działania na wykresie Halla-Janko.

• U ₃ (3) rząd 6048 - stabilizator jednopunktowy, z orbitami 36 i 63

Prosty, zawierający 36 prostych podgrup rzędu 168 i 63 inwolucji, wszystkie sprzężone, każda poruszająca się o 80 punktów. Dana inwolucja występuje w 12 168 podgrupach, a więc ustala je w koniugacji. Jego centralizator ma strukturę 4.S ₄ , która zawiera 6 dodatkowych inwolucji.

• 3.PGL(2,9) rząd 2160 – ma podiloraz A ₆
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅ rząd 1920 – centralizator inwolucji przesuwający się o 80 punktów
• 2 ²⁺⁴ :(3 × S ₃ ) rząd 1152
• A ₄ × A ₅ zamówienie 720

Zawierający 2 ² × A ₅ (kolejność 240), centralizator 3 inwolucji, z których każda porusza się o 100 punktów

• A ₅ × D ₁₀ zamów 600
• PGL(2,7) rozkaz 336
• 5 ² :D ₁₂ zamów 300
• ₅ zamówienie 60

Klasy koniugacji

Maksymalny rząd dowolnego elementu to 15. Jako permutacje, elementy działają na 100 wierzchołkach wykresu Halla-Janko.

Zamówienie	Liczba elementów	Struktura cyklu i koniugacja
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	315 = 3 2 · 5 · 7	2 40 , 1 klasa
	2520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7	2 50 , 1 klasa
3 = 3	560 = 2 4 · 5 · 7	3 30 , 1 klasa
	16800 = 2 5 · 3 · 5 2 · 7	3 32 , 1 klasa
4 = 2 2	6300 = 2 2 · 3 2 · 5 2 · 7	2 6 4 20 , 1 klasa
5 = 5	4032 = 2 6 · 3 2 · 7	5 20 , 2 klasy, ekwiwalent mocy
	24192 = 2 7 · 3 3 · 7	5 20 , 2 klasy, ekwiwalent mocy
6 = 2 · 3	25200 = 2 4 · 3 2 · 5 2 · 7	2 4 3 6 6 12 , 1 klasa
	50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7	2 2 6 16 , 1 klasa
7 = 7	86400 = 2 7 · 3 3 · 5 2	7 14 , 1 klasa
8 = 2 3	75600 = 2 4 · 3 3 · 5 2 · 7	2 3 4 3 8 10 , 1 klasa
10 = 2 · 5	60480 = 2 6 · 3 3 · 5 · 7	10 10 , 2 klasy, ekwiwalent mocy
	120960 = 2 7 · 3 3 · 5 · 7	5 4 10 8 , 2 klasy, ekwiwalent mocy
12 = 2 2 · 3	50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 klasa
15 = 3 · 5	80640 = 2 8 · 3 2 · 5 · 7	5 2 15 6 , 2 klasy, ekwiwalent mocy

• Robert L. Griess Jr., „Dwanaście grup sporadycznych”, Springer-Verlag, 1998.
•    Hall, Marshall; Walia, David (1968), „Prosta grupa rzędu 604,800”, Journal of Algebra , 9 (4): 417–450, doi : 10.1016/0021-8693 (68) 90014-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0240192 (Griess opowiada [s. 123], jak Marshall Hall, jako redaktor The Journal of Algebra , otrzymał bardzo krótki artykuł zatytułowany „Prosta grupa rzędu 604801”. Tak, 604801 jest liczbą pierwszą.)
•   Janko, Zvonimir (1969), „Niektóre nowe proste grupy skończonego rzędu. I”, Symposia Mathematica (INDAM, Rzym, 1967/68), tom. 1 , Boston, MA: Academic Press , s. 25–64, MR 0244371
• Wales, David B., „Wyjątkowość prostej grupy rzędu 604800 jako podgrupy SL (6,4)”, Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
•   Walia, David B., „Generatory grupy Hall – Janko jako podgrupa G2 (4)”, Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi: 10.1016/0021-8693 ( 69 ) 90113-6 , MR 0251133 , ISSN 0021-8693

Linki zewnętrzne

• MathWorld: Grupy Janko
• Atlas reprezentacji grup skończonych: J ₂
• Krata podgrupy J ₂