Grupa Conwaya Co ₁

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Conwaya Co 1 _jest sporadyczną grupą prostą rzędu

2 ²¹ · 3 ⁹ · 5 ⁴ · 7 ² · 11 · 13 · 23

= 4157776806543360000

≈ 4 × 10 ¹⁸ .

Historia i właściwości

Co ₁ jest jedną z 26 sporadycznych grup i została odkryta przez Johna Hortona Conwaya w 1968 roku. Jest największą z trzech sporadycznych grup Conwaya i można ją otrzymać jako iloraz Co ₀ ( grupa automorfizmów sieci Leecha Λ, które ustalają pochodzenie) przez jego środek , który składa się z macierzy skalarnych ±1. Pojawia się również na szczycie grupy automorfizmów parzystej 26-wymiarowej jednomodułowej sieci II _25,1 . Niektóre raczej tajemnicze komentarze w pracach zebranych Witta sugerują, że znalazł on sieć Leecha i prawdopodobnie kolejność jej grupy automorfizmów w niepublikowanej pracy z 1940 roku.

Zewnętrzna grupa automorfizmu jest trywialna, a mnożnik Schura ma rząd 2.

Inwolucje

₀₀ Co ma 4 klasy koniugacji inwolucji; te zapadają się do 2 w Co ₁ , ale są 4-elementowe w Co , które odpowiadają trzeciej klasie inwolucji w Co ₁ .

Obraz dwunastolatka ma centralizator typu 2 ¹¹ :M ₁₂ :2, który zawiera się w podgrupie maksymalnej typu 2 ¹¹ :M ₂₄ .

Obraz oktady lub zestawu 16 ma centralizator postaci 2 ¹⁺⁸ .O ₈⁺ (2), podgrupę maksymalną.

Reprezentacje

Najmniejsza wierna permutacyjna reprezentacja Co ₁ znajduje się na 98280 parach { v ,– v } wektorów o normie 4.

Nad polem znajduje się matrycowa reprezentacja wymiaru 24. ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$ .

Centralizator inwolucji typu 2B w grupie potworów ma postać 2 ¹⁺²⁴ Co ₁ .

₀ Diagram Dynkina parzystej lorentzowskiej jednomodułowej sieci II _1,25 jest izometryczny do (afinicznej) sieci Leecha Λ, więc grupa automorfizmów diagramu jest rozszczepionym rozszerzeniem Λ,Co izometrii afinicznych sieci Leecha.

Maksymalne podgrupy

Wilson (1983) znalazł 22 klasy koniugacji maksymalnych podgrup Co ₁ , chociaż w tej liście były pewne błędy, poprawione przez Wilsona (1988) .

Co ₂
₀ 3. Suz :2 Podniesienie do Aut(Λ) = Co ustala złożoną strukturę lub zmienia ją na zespoloną strukturę sprzężoną. Również górna część łańcucha Suzuki .
2 ¹¹ : M ₂₄ Obraz podgrupy jednomianowej z Aut(Λ), podgrupy stabilizującej standardowy układ 48 wektorów postaci (±8,0 ²³ ) .
Co ₃
2 ¹⁺⁸ .O ₈⁺ (2) centralizator klasy inwolucji 2A (obraz oktady z Aut(Λ))
Fi ₂₁ :S ₃ ≈ U ₆ (2):S ₃ Winda do Aut(Λ) jest grupą symetrii współpłaszczyznowego sześciokąta o 6 punktach typu 2 .
(A ₄ × G ₂ (4)): 2 w łańcuchu Suzuki.
2 ²⁺¹² :(A ₈ × S ₃ )
2 ⁴⁺¹² .(S ₃ × 3.S ₆ )
3 ² .U ₄ (3).D ₈
3 ⁶ :2. M ₁₂ (holomorf potrójnego kodu Golaya )
(A ₅ × J ₂ ):2 w łańcuchu Suzuki
3 ¹⁺⁴ :2.PSp ₄ (3).2
(A ₆ × U ₃ (3)). 2 w łańcuchu Suzuki
3 ³⁺⁴ :2.(S ₄ × S ₄ )
A ₉ × S ₃ w łańcuchu Suzuki
(A ₇ × L ₂ (7)): 2 w łańcuchu Suzuki
(R ₁₀ × (A ₅ × A ₅ ).2).2
5 ¹⁺² :GL ₂ (5)
5 ³ :(4 × A ₅ ).2
7 ² :(3 × 2.S ₄ )
5 ² :2A ₅

Conway, John Horton (1968), „Doskonała grupa rzędu 8 315 553 613 086 720 000 i sporadyczne grupy proste”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS .. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
Brauer, R .; Sah, Chih-han, wyd. (1969), Teoria grup skończonych: sympozjum , WA Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, MR 0240186
Conway, John Horton (1969), „Grupa rzędu 8315553613086720000”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
Conway, John Horton (1971), „Trzy wykłady o wyjątkowych grupach”, w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizowanej przez London Mathematical Society (natowski Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Przedruk w Conway & Sloane (1999 , 267-298)
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Opakowania sferyczne, kraty i grupy , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 290 (3rd ed.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Thompson, Thomas M. (1983), Od kodów korygujących błędy przez opakowania sferyczne do prostych grup , Carus Mathematical Monographs, tom. 21, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas grup skończonych , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Griess, Robert L. Jr. (1998), Dwanaście grup sporadycznych , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Wilson, Robert A. (1983), „Maksymalne podgrupy grupy Conwaya Co₁”, Journal of Algebra , 85 (1): 144–165, doi : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90122-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0723071
Wilson, Robert A. (1988), „O 3-lokalnych podgrupach grupy Conwaya Co₁”, Journal of Algebra , 113 (1): 261–262, doi : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90192-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0928064
Wilson, Robert A. (2009), Skończone grupy proste. , Absolwent Teksty z matematyki 251, t. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012

Linki zewnętrzne

MathWorld: Grupy Conwaya
Atlas reprezentacji grup skończonych: Co ₁ wersja 2
Atlas reprezentacji grup skończonych: Co ₁ wersja 3

Grupa Conwaya Co 1