Grupa Mathieu M ₁₂

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Mathieu M ₁₂ jest sporadyczną grupą prostą rzędu

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 11 = 95040.

Historia i właściwości

M ₁₂ jest jedną z 26 grup sporadycznych i została wprowadzona przez Mathieu ( 1861 , 1873 ). Jest to ostro 5-przechodnia grupa permutacji na 12 obiektach. Burgoyne i Fong (1968) wykazali, że mnożnik Schura M ₁₂ ma rząd 2 (poprawiając błąd w ( Burgoyne i Fong 1966 ), gdzie błędnie twierdzili, że ma rząd 1).

Podwójne pokrycie zostało domyślnie znalezione wcześniej przez Coxetera (1958) , który wykazał, że M ₁₂ jest podgrupą rzutowej grupy liniowej o wymiarze 6 na polu skończonym z 3 elementami.

Zewnętrzna grupa automorfizmów ma rząd 2, a pełna grupa automorfizmów M ₁₂ .2 jest zawarta w M ₂₄ jako stabilizator pary komplementarnych dodekadów po 24 punkty, z zewnętrznymi automorfizmami M ₁₂ zamieniającymi dwa dodekady.

Reprezentacje

Frobenius (1904) obliczył tablicę znaków zespolonych _M12 .

M ₁₂ ma ściśle 5-przechodnią reprezentację permutacyjną w 12 punktach, której stabilizatorem punktowym jest grupa Mathieu M ₁₁ . Utożsamiając 12 punktów linią rzutową nad polem 11 elementów, M ₁₂ jest generowane przez permutacje PSL ₂ (11) wraz z permutacją (2,10)(3,4)(5,9)(6, 7). Ta reprezentacja permutacji zachowuje system Steinera S(5,6,12) ze 132 specjalnymi heksadami, tak że każda pentada jest zawarta w dokładnie 1 specjalnym heksadzie, a heksady są nośnikami wagi 6 słów kodowych rozszerzonego trójskładnikowy kod Golaya . W rzeczywistości M ₁₂ ma dwa równoważne działania w 12 punktach, zamienione zewnętrznym automorfizmem; są one analogiczne do dwóch równoważnych działań grupy symetrycznej S ₆ w 6 punktach.

Podwójne pokrycie 2.M ₁₂ jest grupą automorfizmów rozszerzonego trójskładnikowego kodu Golaya , kodu o wymiarze 6 długości 12 nad polem rzędu 3 o minimalnej wadze 6. W szczególności podwójne pokrycie ma nieredukowalną 6-wymiarową reprezentację na polu z 3 elementów.

Podwójne pokrycie 2.M ₁₂ jest grupą automorfizmów dowolnej macierzy Hadamarda 12×12 .

M ₁₂ centralizuje element rzędu 11 w grupie potworów , w wyniku czego działa naturalnie na algebrze wierzchołków nad polem z 11 elementami, podanej jako kohomologia Tate'a algebry wierzchołków potworów .

Maksymalne podgrupy

Istnieje 11 klas koniugacji maksymalnych podgrup M ₁₂ , 6 występujących w parach automorficznych, jak następuje:

M ₁₁ , rząd 7920, indeks 12. Istnieją dwie klasy podgrup maksymalnych, wymieniane zewnętrznym automorfizmem. Jedna to podgrupa ustalająca punkt z orbitami o rozmiarze 1 i 11, podczas gdy druga działa przechodnie na 12 punktach.
S ₆ :2 = M ₁₀ .2, zewnętrzna grupa automorfizmów grupy symetrycznej S ₆ rzędu 1440, indeks 66. Istnieją dwie klasy podgrup maksymalnych, zamienione zewnętrznym automorfizmem. Jedna jest prymitywna i przechodnia, działająca z 2 blokami po 6, podczas gdy druga to podgrupa ustalająca parę punktów i ma orbity o rozmiarze 2 i 10.
PSL (2,11), porządek 660, indeks 144, podwójnie przechodni w 12 punktach
3 ² :(2.S ₄ ), rząd 432. Istnieją dwie klasy podgrup maksymalnych, zamienione zewnętrznym automorfizmem. Jeden działa z orbitami 3 i 9, a drugi jest prymitywny na 4 zestawach po 3.

Izomorficzny z grupą afiniczną w przestrzeni C ₃ x C ₃ .

S ₅ x 2, rząd 240, podwójnie prymitywny na 6 zestawach po 2 punkty

Centralizator sześciokrotnej transpozycji

Q :S ₄ , rząd 192, orbity 4 i 8.

Centralizator poczwórnej transpozycji

4 ² :(2 x S ₃ ), rząd 192, prymitywny w 3 zestawach po 4
A ₄ x S ₃ , rząd 72, podwójnie prymitywny, 4 zestawy po 3 punkty.

Klasy koniugacji

Kształt cyklu elementu i jego koniugatu w zewnętrznym automorfizmie są powiązane w następujący sposób: połączenie dwóch kształtów cyklu jest zrównoważone, innymi słowy niezmienne przy zmianie każdego n-cyklu na cykl N / n dla pewnej liczby całkowitej N .

Zamówienie	Numer	Centralizator	Cykle	Połączenie
1	1	95040	1 ¹²
2	396	240	2 ⁶
2	495	192	1 ⁴ 2 ⁴
3	1760	54	1 ³ 3 ³
3	2640	36	3 ⁴
4	2970	32	2 ² 4 ²	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem
4	2970	32	1 ⁴ 4 ²	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem
5	9504	10	1 ² 5 ²
6	7920	12	6 ²
6	15840	6	1 2 3 6
8	11880	8	1 ² 2 8	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem
8	11880	8	48	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem
10	9504	10	2 10
11	8640	11	1 11	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem
11	8640	11	1 11	Połączone pod zewnętrznym automorfizmem

Adem, Alejandro ; Maginnis, Jan; Milgram, R. James (1991), „Geometria i kohomologia grupy Mathieu M₁₂”, Journal of Algebra , 139 (1): 90–133, doi : 10.1016/0021-8693 (91) 90285-G , hdl : 2027.42/29344 , ISSN 0021-8693 , MR 1106342
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966), „Mnożniki Schura grup Mathieu” , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 / S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , MR 0197542
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1968), „Korekta do:„ Mnożniki Schura grup Mathieu ” , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017 / S0027763000012782 , ISSN 0027-7630 , MR 0219626
Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, tom. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Wprowadzenie do teorii grup skończonego porządku , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Conway, John Horton (1971), „Trzy wykłady o wyjątkowych grupach” , w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizowanej przez London Mathematical Society (natowski Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Przedruk w Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas grup skończonych , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Opakowania sferyczne, kraty i grupy , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 290 (3rd ed.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1958), „Dwanaście punktów w PG (5,3) z 95040 samoprzekształceniami”, Proceedings of the Royal Society of London. Seria A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynierskie , 247 (1250): 279–293, doi : 10.1098/rspa.1958.0184 , ISSN 0962-8444 , JSTOR 100667 , MR 0120289 , S2CID 121676627
Curtis, RT (1984), „System Steinera S (5, 6, 12), grupa Mathieu M₁₂ i„ kotek ”” , w: Atkinson, Michael D. (red.), Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society sympozjum, które odbyło się w Durham, 30 lipca – 9 sierpnia 1982 r. , Boston, MA: Academic Press , s. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8 , MR 0760669
Cuypers, Hans, The Mathieu grupy i ich geometrie (PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), grupy permutacji , Graduate Texts in Mathematics, tom. 163, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Frobenius, Ferdinand Georg (1904), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (w języku niemieckim), Königliche Akademie der Wissenschaften, Berlin, 16 : 558–571, Przedruk w tomie III jego dzieł zebranych.
Gil, Nick; Hughes, Sam (2019), „Tabela znaków ostro 5-przechodniej podgrupy przemiennej grupy stopnia 12”, International Journal of Group Theory , doi : 10.22108/IJGT.2019.115366.1531 , S2CID 119151614
Griess, Robert L. Jr. (1998), Dwanaście grup sporadycznych , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Hughes, Sam (2018), Reprezentacja i teoria postaci małych grup Mathieu (PDF)
Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les old et sur les substitutions qui les laissent invariables” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois przechodni de 24 ilości” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (w języku francuskim), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ stały martwy link ]}
Thompson, Thomas M. (1983), Od kodów korygujących błędy przez opakowania sferyczne do prostych grup , Carus Mathematical Monographs, tom. 21, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach Transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Linki zewnętrzne

Grupa Mathieu M 12