Grupa Conwaya Co 2

Aby zapoznać się z ogólnym pochodzeniem i historią sporadycznych grup Conway, zobacz grupę Conway .

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Conwaya Co 2 _jest sporadyczną grupą prostą rzędu

    2 ¹⁸ · 3 ⁶ · 5 ³ · 7 · 11 · 23

= 42305421312000

≈ 4 × 10 ¹³ .

Historia i właściwości

 ₀ Co ₂ jest jedną z 26 grup sporadycznych i został odkryty przez ( Conway 1968 , 1969 ) jako grupa automorfizmów sieci Leecha Λ ustalająca wektor sieciowy typu 2 . Jest to zatem podgrupa Co. ₀ Jest izomorficzny z podgrupą Co ₁ . Produkt bezpośredni 2×Co ₂ jest maksymalny w Co .

mnożnik Schura , jak i zewnętrzna grupa automorfizmów są trywialne .

Reprezentacje

Co ₂ działa jako grupa permutacji rangi 3 na 2300 punktów. Punkty te można zidentyfikować za pomocą płaskich sześciokątów w siatce Leecha mającej 6 wierzchołków typu 2.

Co ₂ oddziałuje na 23-wymiarową siatkę parzysto-całkową bez pierwiastków wyznacznika 4, podaną jako podsieć sieci Leecha ortogonalna do wektora normy 4. Na polu z 2 elementami ma 22-wymiarową wierną reprezentację; jest to najmniejsza wierna reprezentacja na dowolnym polu.

Feit (1974) wykazał, że jeśli grupa skończona ma absolutnie nieredukowalną, wierną racjonalną reprezentację wymiaru 23 i nie ma podgrup o indeksie 23 lub 24, to jest ona zawarta w Z /2 Z × Co ₂ lub Z /2 Z × Co ₃ .

Grupa Mathieu M ₂₃ jest izomorficzna z maksymalną podgrupą Co ₂ i jedna reprezentacja w macierzach permutacji ustala wektor typu 2 u = (-3,1 ²³ ). Suma blokowa ζ inwolucji η =

${\ Displaystyle {\ mathbf {1} / 2} \ lewo ({\ początek{macierz}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\koniec{macierz}}\prawo)}$

₀ a 5 kopii -η również naprawia ten sam wektor. Stąd Co ₂ ma wygodną reprezentację macierzową wewnątrz standardowej reprezentacji Co . Ślad ζ wynosi -8, podczas gdy inwolucje w M ₂₃ mają ślad 8.

24-wymiarowa suma bloków η i -η jest w Co ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kopii η jest nieparzysta.

Inna reprezentacja ustala wektor v = (4,-4,0 ²² ). Podgrupa jednomianowa i maksymalna zawiera reprezentację M ₂₂ :2, gdzie każde α zamieniające pierwsze 2 współrzędne przywraca v przez zanegowanie wektora. Uwzględniono również diagonalne inwolucje odpowiadające oktadom (ślad 8), 16 zestawom ( ślad -8) i dodekadom ( ślad 0). Można wykazać, że Co ₂ ma tylko 3 klasy koniugacji inwolucji. η pozostawia (4,-4,0,0) bez zmian; suma blokowa ζ zapewnia niejednomianowy generator uzupełniający tę reprezentację _Co2 .

₀ Istnieje alternatywny sposób skonstruowania stabilizatora v . Teraz u i u + v = (1,-3,1 ²² ) są wierzchołkami trójkąta 2-2-2 (patrz poniżej). Wtedy u , u + v , v , i ich negatywy tworzą współpłaszczyznowy sześciokąt ustalony przez ζ i M ₂₂ ; generują one grupę Fi ₂₁ ≈ U ₆ (2). α (vide supra) rozciąga to na Fi ₂₁ :2, które jest maksymalne w _Co2 . Wreszcie, Co jest przechodnie w punktach typu 2, tak że 23-cyklowe ustalenie u ma sprzężone ustalenie v i generacja jest zakończona.

Maksymalne podgrupy

Niektóre maksymalne podgrupy ustalają lub odzwierciedlają dwuwymiarowe podsieci sieci Leecha. Zwykle definiuje się te płaszczyzny za pomocą trójkątów hkl : trójkąty zawierające początek jako wierzchołek, z krawędziami (różnicami wierzchołków) będącymi wektorami typów h, k i l.

Wilson (2009) odkrył 11 klas koniugacji maksymalnych podgrup Co ₂ w następujący sposób:

• Fi ₂₁ :2 ≈ U ₆ (2):2 - grupa symetrii/odbicia sześciokąta współpłaszczyznowego o 6 punktach typu 2. Naprawia jeden sześciokąt w reprezentacji permutacji Co _{2 rangi 3} na 2300 takich sześciokątów. W tej podgrupie sześciokąty są podzielone na orbity 1, 891 i 1408. Fi ₂₁ ustala trójkąt 2-2-2 definiujący płaszczyznę.
• 2 ¹⁰ : M ₂₂ : 2 ma reprezentację jednomianową opisaną powyżej; 2 ¹⁰ : M ₂₂ ustala trójkąt 2-2-4.
• McL naprawia trójkąt 2-2-3.
• 2 ¹⁺⁸ :Sp ₆ (2) - centralizator klasy inwolucji 2A (ślad -8)
• HS :2 naprawia trójkąt 2-3-3 lub zamienia jego wierzchołki typu 3 ze zmianą znaku.
• (2 ⁴ × 2 ¹⁺⁶ ).A ₈
• U ₄ (3): D ₈
• 2 ⁴⁺¹⁰ .(S ₅ × S ₃ )
• M ₂₃ naprawia trójkąt 2-3-4.
• 3 ¹⁺⁴ .2 ¹⁺⁴ .S ₅
• 5 ¹⁺² :4S ₄

Klasy koniugacji

Pokazano ślady macierzy w standardowej 24-wymiarowej reprezentacji Co2 _. Nazwy klas koniugacji pochodzą z Atlasu reprezentacji grup skończonych.

W nawiasach zaznaczono centralizatory o nieznanej budowie.

Klasa	Kolejność centralizatora	Centralizator	Wielkość klasy	Namierzać
1A		cały Co2	1	24
2A	743 178 240	2 1+8 : Sp 6 (2)	3 2 ·5 2 ·11 ·23	-8
2B	41 287 680	2 1+4 :2 4 .A 8	2·3 4 ·5 2 11·23	8
2C	1 474 560	2 10 .A 6 .2 2	2 3 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23	0
3A	466560	3 1+4 2 1+4 A 5	2 11 ·5 2 ·7 ·11 ·23	-3
3B	155520	3×U 4 (2).2	2 11 ·3·5 2 ·7·11·23	6
4A	3 096 576	4.2 6 .U 3 (3).2	2 4 ·3 3 ·5 3 ·11·23	8
4B	122880	[2 10 ]P 5	2 5 ·3 5 ·5 2 ·7 ·11 ·23	-4
4C	73728	[2 13 .3 2 ]	2 5 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	4
4D	49152	[2 14 .3]	2 4 ·3 5 · 5 3 ·7·11·23	0
4E	6144	[2 11 .3]	2 7 ·3 5 ·5 3 ·7 ·11 ·23	4
4F	6144	[2 11 .3]	2 7 ·3 5 ·5 3 ·7 ·11 ·23	0
4G	1280	[2 8,5 ]	2 10 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
5A	3000	5 1+2 2A 4	2 15 ·3 5 ·7·11·23	-1
5B	600	5×S 5	2 15 ·3 5 ·5·7·11·23	4
6A	5760	3.2 1+4 A5	2 11 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23	5
6B	5184	[2 6 .3 4 ]	2 12 ·3 2 ·5 3 ·7·11·23	1
6C	4320	6×S 6	2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·11·23	4
6D	3456	[2 7 .3 3 ]	2 11 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	-2
6E	576	[2 6 .3 2 ]	2 12 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	2
6F	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	0
7A	56	7×D 8	2 15 ·3 6 ·5 3 ·11 ·233	3
8A	768	[2 8 .3]	2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
8B	768	[2 8 .3]	2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	-2
8C	512	[2 9 ]	2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	4
8D	512	[2 9 ]	2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	0
8E	256	[2 8 ]	2 10 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
8F	64	[2 6 ]	2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
9A	54	9×S 3	2 17 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	3
10 A	120	5×2.A 4	2 15 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	3
10B	60	10×S 3	2 16 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2
10C	40	5×D 8	2 15 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
11A	11	11	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·23	2
12A	864	[2 5 .3 3 ]	2 13 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	-1
12B	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	1
12C	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	2
12D	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	-2
12E	96	[2 5 .3]	2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	3
12F	96	[2 5 .3]	2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	2
12G	48	[2 4 .3]	2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	1
12H	48	[2 4 .3]	2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
14A	56	5×D 8	2 15 ·3 6 ·5 3 ·11 ·23	-1
14B	28	14×2	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1	ekwiwalent mocy
14C	28	14×2	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1
15A	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	1
15B	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2	ekwiwalent mocy
15C	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2
16A	32	16×2	2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
16B	32	16×2	2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	0
18A	18	18	2 17 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	1
20A	20	20	2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	1
20B	20	20	2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
23A	23	23	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11	1	ekwiwalent mocy
23B	23	23	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11	1
24A	24	24	2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
24B	24	24	2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	1
28A	28	28	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1
30A	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	-1
30B	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	0
30C	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	0

•     Conway, John Horton (1968), „Doskonała grupa rzędu 8 315 553 613 086 720 000 i sporadyczne grupy proste”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS .. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
•    Conway, John Horton (1969), „Grupa rzędu 8315553613086720000”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
•    Conway, John Horton (1971), „Trzy wykłady o wyjątkowych grupach”, w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizowanej przez London Mathematical Society (natowski Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Przedruk w Conway & Sloane (1999 , 267–298)
•    Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 290 (3rd ed.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
•    Feit, Walter (1974), „O integralnych reprezentacjach grup skończonych”, Proceedings of the London Mathematical Society , trzecia seria, 29 (4): 633–683, doi : 10.1112 / plms / s3-29.4.633 , ISSN 0024- 6115 , MR 0374248
•    Thompson, Thomas M. (1983), Od kodów korygujących błędy przez opakowania sferyczne do prostych grup , Carus Mathematical Monographs, tom. 21, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
•    Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas grup skończonych , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
•    Griess, Robert L. Jr. (1998), Dwanaście grup sporadycznych , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
•    Wilson, Robert A. (1983), „Maksymalne podgrupy grupy Conwaya · 2”, Journal of Algebra , 84 (1): 107–114, doi : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90069-8 , ISSN 0021- 8693 , MR 0716772
•    Wilson, Robert A. (2009), Skończone grupy proste. , Absolwent Teksty z matematyki 251, t. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012

Konkretny

Linki zewnętrzne

• MathWorld: Grupy Conwaya
• Atlas reprezentacji grup skończonych: Co ₂ wersja 2
• Atlas reprezentacji grup skończonych: Co ₂ wersja 3