W pobliżu wielokąta

Gęsty bliski wielokąt o średnicy d = 2

W matematyce bliski wielokąt jest geometrią incydencji wprowadzoną przez Ernesta E. Shulta i Arthura Yanushkę w 1980 r. Shult i Yanushka wykazali związek między tak zwanymi tetraedrycznie zamkniętymi systemami liniowymi w przestrzeniach euklidesowych a klasą geometrii punktowo-liniowych, które nazywali blisko wielokątów. Struktury te uogólniają pojęcie uogólnionego wielokąta , ponieważ każdy uogólniony 2 n -gon jest blisko 2 n -gonem określonego rodzaju. Bliskie wielokąty były szeroko badane i związek między nimi a dualnymi przestrzenie polarne pokazywano w latach 80. i na początku lat 90. Niektóre sporadyczne grupy proste , na przykład grupa Halla-Janko i grupy Mathieu , działają jako grupy automorfizmu bliskich wielokątów.

Definicja

Blisko 2 d $-gon$ to struktura częstości ( ), gdzie $L$ punktów, ${$ displaystyle linie i jest relacją częstości występowania taką, że: ${\ Displaystyle I \ subseteq P \ razy L}$

Maksymalna odległość między dwoma punktami (tzw. średnica) wynosi d .
Dla każdego punktu $,$ każdej linii istnieje unikalny punkt na $displaystyle$ $L}$ który jest najbliższy $\ displaystyle x}$ .

Należy zauważyć, że odległości są mierzone na wykresie współliniowości punktów, tj. wykresie utworzonym przez wzięcie punktów za wierzchołki i połączenie pary wierzchołków, jeśli są one incydentne ze wspólną linią. Możemy również podać alternatywną teoretyczną grafów , bliski 2 d -gon jest spójnym grafem o skończonej średnicy d z tą właściwością, że dla każdego wierzchołka x i każdej maksymalnej kliki M istnieje unikalny wierzchołek x' w M najbliższy x . Maksymalne kliki takiego grafu odpowiadają liniom w definicji struktury incydencji. Graf bliski 0 ( d = 0) to pojedynczy punkt, podczas gdy bliski 2-gon ( d = 1) to tylko pojedyncza linia, czyli pełny wykres . Bliski czworokąt ( d = 2) jest taki sam jak (prawdopodobnie zdegenerowany) uogólniony czworokąt . W rzeczywistości można wykazać, że każdy uogólniony 2 d -gon jest bliski 2 d -gon, który spełnia następujące dwa dodatkowe warunki:

Każdy punkt jest incydentny z co najmniej dwiema prostymi.
Dla każdych dwóch punktów x , y w odległości i < d istnieje unikalny sąsiad y w odległości i − 1 od x .

Bliski wielokąt nazywamy gęstym, jeśli każda prosta jest incydentna z co najmniej trzema punktami i jeśli każde dwa punkty w odległości dwa mają co najmniej dwóch wspólnych sąsiadów. Mówimy, że ma porządek ( s , t ), jeśli każda prosta przecina dokładnie s + 1 punktów i każdy punkt przecina dokładnie t + 1 prostych. Gęste bliskie wielokąty mają bogatą teorię, a kilka ich klas (jak wąskie, gęste bliskie wielokąty) zostało całkowicie sklasyfikowanych.

Przykłady

Wszystkie połączone grafy dwudzielne są blisko wielokątów. W rzeczywistości każdy bliski wielokąt, który ma dokładnie dwa punkty na linię, musi być połączonym grafem dwudzielnym.
Wszystkie skończone uogólnione wielokąty z wyjątkiem płaszczyzn rzutowych.
Wszystkie podwójne przestrzenie biegunowe .
Hall-Janko w pobliżu ośmiokąta, znany również jako Cohen- Tits w pobliżu ośmiokąta, związany z grupą Hall-Janko . Można go skonstruować, wybierając klasę koniugacji 315 centralnych inwolucji grupy Halla-Janko jako punkty i linie jako podzbiory trzech elementów {x, y, xy}, ilekroć x i y dojeżdżają do pracy.
M ₂₄ w pobliżu sześciokąta odnosi się do grupy Mathieu M24 i rozszerzonego binarnego kodu Golaya . Jest skonstruowany poprzez wzięcie 759 oktad (bloków) w projekcie Witta S (5, 8, 24) odpowiadających kodowi Golaya jako punktów i potrójnej z trzech parami rozłącznych oktad jako linii.
Weźmy podziały {1, 2, ..., 2 n + 2} na n + 1 2-podzbiorów jako punkty, a podziały na n - 1 2-podzbiorów i jeden 4-podzbiór jako linie. Punkt jest incydentny z linią, jeśli jako podział jest udoskonaleniem linii. Daje to prawie 2 n -gon z trzema punktami na każdej linii, zwykle oznaczanymi _jako Hn . Jego pełną grupą automorfizmów jest grupa symetryczna S _{2 n +2} .

Regularne bliskie wielokąty

Skończony w pobliżu $stałe$ $ja$ $, \ ldots, d \}}$ jeśli ma istnieją $y}$ tak, że na każde dwa punkty $Displaystyle$ y {\ w odległości ${\ Displaystyle i}$ , są dokładnie $($ przechodzące przez ${\ Displaystyle y}$ unikalny) punkt w odległości $\ Displaystyle i-1}$ od ${\ displaystyle x}$ . Okazuje się, że regularne w pobliżu $wykres$ to dokładnie te w pobliżu $, których$ również jako wykres współliniowości ) jest grafem odległościowo-regularnym . Uogólniony ${\ Displaystyle 2d}$ -gon rzędu ${\ Displaystyle (s, t)}$ jest regularny blisko ${\ displaystyle 2d}$ -gon z parametrami ${\ Displaystyle t_ {1} = 0, t_ {2} = 0, \ ldots, t_ {d} = t}$

Zobacz też

Notatki

Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, Ha; Hall, JJ (1994), „W pobliżu wielokątów i przestrzeni Fischera” (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007 / BF01264034 .

Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Regularne wykresy odległości , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5 , MR 1002568 .

Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Dwie nieskończone sekwencje bliskich wielokątów (PDF) , Raport ZW194/83, Mathematisch Centrum .

Cameron, Peter J. (1982), „Podwójne przestrzenie biegunowe”, Geometriae Dedicata , 12 : 75–85, doi : 10.1007/bf00147332 , MR 0645040 .

Cameron, Peter J. (1991), Przestrzenie rzutowe i biegunowe , QMW Maths Notes, tom. 13, Londyn: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019 .
De Bruyn, Bart (2006), Near Polygons , Frontiers in Mathematics , Birkäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-7643-7553-9 , ISBN 3-7643-7552-3 , MR 2227553 .

De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), „Niektóre klasy geometrii rzędu 2”, Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland, s. 433–475 .
Shult, Ernest E. (2011), Punkty i linie , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7 .

Szult, Ernest; Yanushka, Arthur (1980), „Near n-gons and line systems”, Geometriae Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR 0566437 .