Uogólniony czworokąt

GQ(2,2), Serwetka

W geometrii uogólniony czworokąt jest strukturą incydencyjną , której główną cechą jest brak jakichkolwiek trójkątów (ale zawierająca wiele czworokątów). Uogólniony czworokąt jest z definicji przestrzenią biegunową rzędu drugiego. Są to uogólnione n-kąty z n = 4 i bliskie 2 n-kąty z n = 2. Są to również dokładnie geometrie cząstkowe pg( s , t , α) z α = 1.

Definicja

Uogólniony czworokąt jest strukturą incydencji ( P , B , I), gdzie I ⊆ P × B jest relacją incydencji , spełniającą pewne aksjomaty . Elementy P są z definicji punktami uogólnionego czworokąta, elementy B to proste . Aksjomaty są następujące:

• Istnieje s ( s ≥ 1) takie, że na każdej prostej jest dokładnie s + 1 punktów. Na dwóch różnych liniach jest co najwyżej jeden punkt.
• Istnieje t ( t ≥ 1) takie, że przez każdy punkt przechodzi dokładnie t + 1 prostych. Istnieje co najwyżej jedna linia przechodząca przez dwa różne punkty.
• Dla każdego punktu p, który nie leży na prostej L , istnieje unikalna prosta M i unikalny punkt q , taki, że p leży na M , a q na M i L.

( s , t ) to parametry uogólnionego czworokąta. Parametry mogą być nieskończone. Jeśli s lub t wynosi jeden, uogólniony czworokąt nazywamy trywialnym . Na przykład siatka 3x3 z P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} i B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} jest trywialnym GQ z s = 2 i t = 1. Uogólniony czworokąt z parametrami ( s , t ) jest często oznaczany przez GQ( s , t ).

Najmniejszym nietrywialnym uogólnionym czworokątem jest GQ(2,2) , którego reprezentacja została nazwana „serwetką” przez Stana Payne'a w 1973 roku.

Nieruchomości

• ${\ Displaystyle | P | = (st + 1) (s + 1)}$
• ${\ Displaystyle | B | = (st + 1) (t + 1)}$
• ${\ Displaystyle (s + t) | st (s + 1) (t + 1)}$
• ${\ Displaystyle s \ neq 1 \ długa strzałka w prawo t \ równoważnik s ^ {2}}$
• ${\ Displaystyle t \ neq 1 \ Longrightarrow s \ równoważnik t ^ {2}}$

Wykresy

Wykres liniowy uogólnionego czworokąta GQ(2,4)

Istnieją dwa interesujące wykresy, które można uzyskać z uogólnionego czworokąta.

• Wykres współliniowości mający jako wierzchołki punkty uogólnionego czworokąta, z połączonymi punktami współliniowymi. Ten wykres jest silnie regularnym wykresem z parametrami ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1) gdzie (s,t) jest rzędem GQ.
• Wykres częstości , którego wierzchołki są punktami i liniami uogólnionego czworokąta, a dwa wierzchołki sąsiadują ze sobą, jeśli jeden jest punktem, a drugi linią, a punkt leży na prostej. Wykres występowania uogólnionego czworokąta charakteryzuje się tym, że jest spójnym , dwudzielnym wykresem o średnicy cztery i obwodzie osiem. Dlatego jest to przykład Klatki . Wykresy częstości konfiguracji są dziś ogólnie nazywane wykresami Leviego , ale oryginalny wykres Leviego był wykresem częstości GQ(2,2).

Dwoistość

Jeśli ( P , B , I) jest uogólnionym czworokątem o parametrach ( s , t ), to ( B , P , I ⁻¹ ), gdzie I ⁻¹ jest odwrotną zależnością występowania, jest również uogólnionym czworokątem. To jest podwójnie uogólniony czworokąt . Jego parametry to ( t , s ). Nawet jeśli s = t , struktura dualna nie musi być izomorficzna z pierwotną strukturą.

Uogólnione czworokąty z liniami o rozmiarze 3

Istnieje dokładnie pięć (prawdopodobnie zdegenerowanych) uogólnionych czworokątów, w których każda prosta ma trzy punkty przecinające się z nią, czworokąt z pustym zestawem linii, czworokąt ze wszystkimi prostymi przechodzącymi przez stały punkt odpowiadający wykresowi wiatraka Wd(3,n) , siatka rozmiar 3x3, czworokąt GQ(2,2) i unikalny GQ(2,4). Te pięć czworokątów odpowiada pięciu systemom korzeni w klasach ADE A _n , D _n , E ₆ , E ₇ i E ₈ , tj. po prostu splecione systemy korzeniowe. Zobacz i.

Klasyczne uogólnione czworokąty

Patrząc na różne przypadki dla przestrzeni biegunowych rzędu co najmniej trzeciego i ekstrapolując je na rząd 2, można znaleźć te (skończone) uogólnione czworokąty:

• Q ${\ Displaystyle Q ^ {+} (3, q)}$ , paraboliczny quadric $\ Displaystyle Q (4, q)}$ i eliptyczny quadric ${\ Displaystyle Q ^ {-} (5, q)}$ są jedynymi możliwymi kwadrykami w przestrzeniach rzutowych nad ciałami skończonymi o indeksie rzutowym 1. Znajdujemy te parametry odpowiednio:

${\ Displaystyle Q (3, q): \ s = q, t = 1}$ (to tylko siatka)

${ \ Displaystyle Q (4, q): \ s = q, t = q}$

${\ Displaystyle Q (5, q): \ s = q, t = q^{2}}$

• A H. ${\ Displaystyle H (n, q ^ {2})}$ indeks rzutowy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy n wynosi 3 lub 4. Znajdujemy:

${\ Displaystyle H (3, q ^ {2}): \ s = q ^ {2}, t = q}$

${\ Displaystyle H (4, q ^ {2}): \ s = q ^ {2}, t = q ^ {3}}$

• Symplektyczna biegunowość w ${\ Displaystyle PG (2d + 1, q)}$ ma maksymalną podprzestrzeń izotropową o wymiarze 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle d = 1}$ . Tutaj znajdujemy uogólniony czworokąt z ${\ Displaystyle W (3, q)}$${\ displaystyle s = q, t = q}$ .

Uogólniony $wyprowadzony$$_$ podwójną i -dual, a zatem izomorficzne względem siebie wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ .

Przykłady nieklasyczne

• Niech O będzie hiperowalem w $potęgą$ z parzystą pierwszą ${\ Displaystyle PG (3, q)}$$desarguesowską$ rzutową w ( . Rozważmy teraz strukturę występowania ${\ Displaystyle T_ {2} ^ {*} (O)}$ gdzie wszystkie punkty nie są punktami w , linie to te, które nie leżą na $\ pi}$$Displaystyle$ , przecinające się ${\ Displaystyle \ pi } \pi }$ w punkcie O , a częstość występowania jest naturalna. To jest (q-1,q+1) -uogólniony czworokąt.
• Niech q będzie $_$ pierwszą lub $parzystą$ polaryzację w Wybierz dowolny punkt p i zdefiniuj ${\ Displaystyle \ pi = p ^ {\ theta}}$ . Niech wszystkie linie naszej struktury incydencji będą liniami bezwzględnymi nie na razem ze wszystkimi liniami przechodzącymi przez p ${\ displaystyle \ pi}$ które nie są na $tych$$.$ punkty będą wszystkimi punktami wyjątkiem w $\$ Częstość występowania jest znowu naturalna. Otrzymujemy ponownie (q-1,q+1) -uogólniony czworokąt

Ograniczenia dotyczące parametrów

Używając siatek i siatek podwójnych, dowolna liczba całkowita z , z ≥ 1 pozwala na uogólnione czworokąty o parametrach (1, z ) i ( z ,1). Poza tym do tej pory możliwe były tylko następujące parametry, z dowolną potęgą pierwszą :

${\ Displaystyle (q, q)}$

${\ Displaystyle (q, q ^ {2})}$ i ${\ Displaystyle (q ^ {2}, q)}$

${\ Displaystyle (q ^ {2}, q ^ {3})}$ i ${\ Displaystyle (q ^ {3}, q ^ {2} )}$

${\ Displaystyle (q-1, q + 1)}$ i ${\ Displaystyle (q + 1, q-1)}$

•   SE Payne i JA To . Skończone uogólnione czworokąty. Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984. vi+312 s. ISBN 0-273-08655-3 , link http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ. pdf