Przestrzeń polarna

W matematyce , w dziedzinie geometrii , przestrzeń biegunowa rzędu n ( n ≥ 3 ) lub indeks rzutowy n - 1 składa się ze zbioru P , umownie zwanego zbiorem punktów, wraz z pewnymi podzbiorami P , zwanymi podprzestrzeniami , które spełniają te aksjomaty:

• Każda podprzestrzeń jest izomorficzna z geometrią rzutową P ^d ( K ) z −1 ≤ d ≤ ( n - 1) i K pierścieniem podziału . Z definicji dla każdej podprzestrzeni odpowiednie d jest jej wymiarem.
• Przecięcie dwóch podprzestrzeni jest zawsze podprzestrzenią.
• Dla każdego punktu p , który nie jest w podprzestrzeni A o wymiarze n - 1 , istnieje unikalna podprzestrzeń B o wymiarze n - 1 zawierająca p i taka, że ​​A ∩ B jest ( n - 2) -wymiarowa. Punkty w A ∩ B są dokładnie punktami A , które są we wspólnej podprzestrzeni wymiaru 1 z p .
• Istnieją co najmniej dwie rozłączne podprzestrzenie o wymiarze n − 1 .

Możliwe jest zdefiniowanie i zbadanie nieco większej klasy obiektów przy użyciu jedynie zależności między punktami i liniami: przestrzeń biegunowa jest częściową przestrzenią liniową ( P , L ), tak że dla każdego punktu p ∈ P i każdej prostej l ∈ L , zbiór punktów l współliniowych z p , jest albo singletonem, albo całym l .

Skończone przestrzenie biegunowe (gdzie P jest skończonym zbiorem) są również badane jako obiekty kombinatoryczne .

Uogólnione czworokąty

Uogólniony czworokąt z trzema punktami na linię; przestrzeń biegunowa rzędu 2

Przestrzeń biegunowa rzędu drugiego to uogólniony czworokąt ; w tym przypadku, w tej ostatniej definicji, zbiór punktów linii ℓ współliniowej z punktem p jest całością ℓ tylko wtedy, gdy p ∈ ℓ . Pierwszą definicję odzyskuje się z drugiej przy założeniu, że linie mają więcej niż 2 punkty, punkty leżą na więcej niż 2 prostych i istnieje prosta ℓ i punkt p nie na ℓ , więc p jest współliniowe ze wszystkimi punktami ℓ .

Skończone klasyczne przestrzenie biegunowe

Niech ${\ Displaystyle PG (n, q)}$ będzie przestrzenią rzutową wymiaru $Displaystyle$ polem skończonym $\ mathbb {F} _ {q}}$ i niech $lub$ refleksyjną formą seskwiliniową formą kwadratową w podstawowej przestrzeni wektorowej. Wtedy elementy skończonej klasycznej przestrzeni biegunowej związane z tą postacią składają się z całkowicie izotropowych podprzestrzeni $seskwiliniową$ gdy $}$ całkowicie osobliwymi podprzestrzeniami (gdy formą kwadratową) { $f$ szacunek dla ${\ displaystyle f}$ . Indeks Witta postaci jest równy największemu wymiarowi przestrzeni wektorowej podprzestrzeni zawartej w przestrzeni biegunowej i jest nazywany rangą przestrzeni polarnej. Te skończone klasyczne $przestrzenie biegunowe można podsumować$ poniższej tabeli, gdzie jest wymiarem podstawowej przestrzeni rzutowej, a rangą przestrzeni $.$ Liczba punktów w ${\ Displaystyle \ theta _ {k} ($ przez $($ równa ${\ Displaystyle q ^ {k} + q ^ {k-1} + \ cdots +1}$ . Kiedy jest równe $,$$czworokąt$ .

Formularz	${\ displaystyle n + 1}$	Nazwa	Notacja	Liczba punktów	Grupa kolineacyjna
Zmienny	${\ Displaystyle 2r}$	Symplektyczny	${\ Displaystyle W (2r-1, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma Sp} (2r, q)}$
hermitowski	${\ Displaystyle 2r}$	hermitowski	${\ Displaystyle H (2r-1, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r-1/2} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma U (2r, q)}}$
hermitowski	${\ Displaystyle 2r + 1}$	hermitowski	${\ Displaystyle H (2r, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r + 1/2} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma U (2r + 1, q)}}$
Kwadratowy	${\ Displaystyle 2r}$	Hiperboliczny	${\ Displaystyle Q ^ {+} (2r-1, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r-1} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma O ^ {+}} (2r, q)}$
Kwadratowy	${\ Displaystyle 2r + 1}$	Paraboliczny	${\ Displaystyle Q (2r, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma O} (2r + 1, q)}$
Kwadratowy	${\ Displaystyle 2r + 2}$	Eliptyczny	${\ Displaystyle Q ^ {-} (2r + 1, q)}$	${\ Displaystyle (q ^ {r + 1} + 1) \ teta _ {r-1} (q)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {P \ Gamma O ^ {-}} (2r + 2, q)}$

Klasyfikacja

Jacques Tits udowodnił, że skończona przestrzeń biegunowa rzędu co najmniej trzeciego jest zawsze izomorficzna z jednym z trzech typów klasycznych przestrzeni biegunowych podanych powyżej. Pozostawia to otwarty jedynie problem klasyfikacji skończonych uogólnionych czworokątów.

•   Cameron, Peter J. (2015), Przestrzenie rzutowe i biegunowe (PDF) , QMW Maths Notes, tom. 13, Londyn: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
•   Buekenhout, Franciszek; Cohen, Arjeh M. (2013), Diagram Geometry (związany z klasycznymi grupami i budynkami) , A Series of Modern Surveys in Mathematics, część 3, tom. 57, Heidelberg: Springer, MR 3014979
• Buekenhout, Francis, Prehistoria i historia przestrzeni polarnych i uogólnionych wielokątów (PDF)
•   Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438 .