Twierdzenie Witta

„Twierdzenie Witta” lub „twierdzenie Witta” może również odnosić się do twierdzenia Bourbakiego – Witta o punkcie stałym teorii porządku.

W matematyce twierdzenie Witta , nazwane na cześć Ernsta Witta , jest podstawowym wynikiem algebraicznej teorii form kwadratowych : dowolna izometria między dwiema podprzestrzeniami niepojedynczej przestrzeni kwadratowej nad polem k może zostać rozszerzona na izometrię całej przestrzeni. Analogiczne stwierdzenie dotyczy również form dwuliniowych skośno-symetrycznych, hermitowskich i skośno-hermitowskich na dowolnych polach. Twierdzenie dotyczy klasyfikacji form kwadratowych nad k aw szczególności pozwala zdefiniować grupę Witta W ( k ), która opisuje „stabilną” teorię form kwadratowych w polu k .

Oświadczenie

Niech ( V , b ) będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem k o charakterystyce różnej od 2 wraz z niezdegenerowaną postacią dwuliniową symetryczną lub skośno-symetryczną . Jeśli f : U → U' jest izometrią między dwiema podprzestrzeniami V , to f rozciąga się do izometrii V .

Twierdzenie Witta implikuje, że wymiar maksymalnej całkowicie izotropowej podprzestrzeni (przestrzeni zerowej) V jest niezmiennikiem, zwanym indeksem lub indeksem Witta b , a ponadto, że grupa izometrii ( V , b ) działa przechodnie na zbiorze maksymalne podprzestrzenie izotropowe. Fakt ten odgrywa ważną rolę w teorii struktury i teorii reprezentacji grupy izometrii oraz w teorii redukcyjnych par podwójnych .

Twierdzenie Witta o anulowaniu

Niech ( V , q ) , ( V ₁ , q ₁ ) , ( V ₂ , q ₂ ) będą trzema przestrzeniami kwadratowymi nad ciałem k . Zakładać, że

${\ Displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) \ oplus (V, q) \ simeq (V_ {2}, q_ {2}) \ oplus (V, q).}$

Wtedy przestrzenie kwadratowe ( V ₁ , q ₁ ) i ( V ₂ , q ₂ ) są izometryczne:

${\ Displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) \ simeq (V_ {2}, q_ {2}).}$

Innymi słowy, bezpośrednia suma ( V , q ) pojawiająca się po obu stronach izomorfizmu między przestrzeniami kwadratowymi może zostać „anulowana”.

Twierdzenie Witta o rozkładzie

Niech ( V , q ) będzie kwadratową przestrzenią nad ciałem k . Następnie dopuszcza rozkład Witta :

${\ Displaystyle (V, q) \ simeq (V_ {0}, 0) \ oplus (V_ { a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

gdzie ₀ V = ker q jest pierwiastkiem q , ( V _a , q _a ) jest anizotropową przestrzenią kwadratową , a ( V _h , q _h ) jest podzieloną przestrzenią kwadratową . Ponadto suma anizotropowa, zwana formą rdzenia , oraz suma hiperboliczna w rozkładzie Witta ( V , q ) są określone jednoznacznie aż do izomorfizmu.

Mówi się, że formy kwadratowe z tą samą formą rdzenia są podobne lub równoważne Wittowi .

Cytaty

• Emil Artin (1957) Geometric Algebra , strona 121 za pośrednictwem Internet Archive
•     Lam, Tsit-Yuen (2005), Wprowadzenie do form kwadratowych na polach , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 67, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023
•    Lorenz, Falko (2008), Algebra. Tom II: Pola ze strukturą, algebrami i tematami zaawansowanymi , Springer-Verlag , s. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4 , Zbl 1130.12001
•   O'Meara, O. Timothy (1973), Wprowadzenie do form kwadratowych , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 117, Springer-Verlag , Zbl 0259.10018