Redukcyjna podwójna para

W matematycznej dziedzinie teorii reprezentacji redukcyjna para podwójna to para podgrup ( G , G ′ ) grupy izometrii Sp ( W ) symplektycznej przestrzeni wektorowej W , taka że G jest centralizatorem G ′ w Sp ( W ) i odwrotnie, a grupy te działają redukcyjnie na W . Nieco bardziej luźno, mówi się o podwójnej parze, gdy dwie grupy są wzajemnymi centralizatorami w większej grupie, która często jest ogólną grupą liniową . Koncepcja została wprowadzona przez Rogera Howe'a w Howe (1979) . Jego silne powiązania z klasyczną teorią niezmienników omówiono w Howe (1989a) .

Przykłady

  • Pełna grupa symplektyczna G = Sp( W ) i dwuelementowa grupa G ′, środek Sp( W ), tworzą redukcyjną parę podwójną. Właściwość podwójnego centralizatora wynika ze sposobu, w jaki zdefiniowano te grupy: centralizatorem grupy G w G jest jej centrum, a centralizatorem centrum dowolnej grupy jest sama grupa. Grupa G ′, składa się z transformacji tożsamościowej i jej ujemnej wartości, i może być interpretowana jako grupa ortogonalna jednowymiarowej przestrzeni wektorowej. Z późniejszego rozwoju teorii wynika, że ​​ta para jest pierwszym przypadkiem ogólnej rodziny par podwójnych składających się z grupy symplektycznej i grupy ortogonalnej, które są znane jako nieredukowalne redukcyjne pary podwójne typu I.
  • Niech X będzie n - wymiarową przestrzenią wektorową, Y będzie jej dualną , a W będzie bezpośrednią sumą X i Y. Wtedy W można w naturalny sposób przekształcić w symplektyczną przestrzeń wektorową, tak że ( X , Y ) jest jego polaryzacją lagrange'a. Grupa G jest ogólną grupą liniową GL( X ), która działa tautologicznie na X i odwrotnie na Y . Centralizatorem G w grupie symplektycznej jest grupa G ′, składająca się z operatorów liniowych na W , które działają na X przez pomnożenie przez niezerowy skalar λ i na Y przez pomnożenie przez skalar przez jego odwrotność λ -1 . Wtedy centralizatorem G ′ jest G , te dwie grupy działają całkowicie redukowalnie na W , a zatem tworzą redukcyjną parę podwójną. Grupa G ′, można interpretować jako ogólną grupę liniową jednowymiarowej przestrzeni wektorowej. Ta para należy do rodziny par podwójnych składających się z ogólnych grup liniowych, znanych jako nieredukowalne reduktywne pary podwójne typu II .

Teoria i klasyfikacja struktur

Pojęcie redukcyjnej pary podwójnej ma sens w odniesieniu do dowolnego pola F , które zakładamy, że jest stałe. Zatem W jest symplektyczną przestrzenią wektorową nad F .

Jeśli W 1 i W 2 są dwiema symplektycznymi przestrzeniami wektorowymi, a ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) są dwiema redukcyjnymi parami podwójnymi w odpowiednich grupach symplektycznych, to możemy utworzyć nową symplektyczną przestrzeń wektorową W = W 1 ⊕ W 2 i para grup G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2 działające na W za pomocą izometrii. Okazuje się, że ( G , G ′) jest redukcyjną parą podwójną. Redukcyjna para podwójna nazywana jest redukowalną , jeśli można ją otrzymać w ten sposób z mniejszych grup, aw przeciwnym razie nieredukowalną . Parę redukowalną można rozłożyć na iloczyn bezpośredni par nieredukowalnych i do wielu celów wystarczy ograniczyć uwagę do przypadku nieredukowalnego.

Kilka klas redukcyjnych par podwójnych pojawiło się wcześniej w pracach André Weila . Roger Howe udowodnił twierdzenie klasyfikacyjne, które mówi, że w przypadku nieredukowalnym pary te wyczerpują wszystkie możliwości. , że nieredukowalna redukcyjna para podwójna ( G , G ′) w Sp ( W ) jest typu II , jeśli istnieje podprzestrzeń lagrange'a X w W , która jest niezmienna zarówno pod G , jak i G ′, oraz typu I w przeciwnym razie.

Archetypowa nieredukowalna redukcyjna para podwójna typu II składa się z pary ogólnych grup liniowych i powstaje w następujący sposób. Niech U i V będą dwiema przestrzeniami wektorowymi nad F , X = U ⊗ F V będzie ich iloczynem tensorowym, a Y = Hom F ( X , F ) jego podwójną . Wówczas suma bezpośrednia W = X ⊕ Y może być obdarzona taką postacią symplektyczną, że X i Y są podprzestrzeniami lagrange'a, a ograniczenie formy symplektycznej do X × Y ⊂ W × W zbiega się z parowaniem między przestrzenią wektorową X i jej podwójnym Y . Jeśli G = GL( U ) i G ′ = GL ( V ), to obie te grupy działają liniowo na X i Y , działania zachowują formę symplektyczną na W , i ( G , G ′) jest nieredukowalną redukcyjną parą podwójną. Zauważ, że X jest niezmienną podprzestrzenią lagrange'a, stąd ta podwójna para jest typu II.

Archetypiczna nieredukowalna redukcyjna para podwójna typu I składa się z grupy ortogonalnej i grupy symplektycznej i jest skonstruowana analogicznie. Niech U będzie ortogonalną przestrzenią wektorową, V będzie symplektyczną przestrzenią wektorową nad F , a W = U ⊗ F V będzie ich iloczynem tensorowym. Kluczową obserwacją jest to, że W jest symplektyczną przestrzenią wektorową, której postać dwuliniowa jest otrzymywana z iloczynu form na współczynnikach tensorowych. Ponadto, jeśli G = O( U ) i G ′ = Sp( V ) to grupy izometrii U i V , wtedy działają one na W w sposób naturalny, działania te są symplektyczne, a ( G , G ′) jest nieredukowalną redukcyjną parą podwójną typu I.

Te dwie konstrukcje tworzą wszystkie nieredukowalne redukujące pary podwójne w algebraicznie zamkniętym polu F , takim jak pole C liczb zespolonych . Ogólnie rzecz biorąc, można zastąpić przestrzenie wektorowe nad F przestrzeniami wektorowymi nad algebrą dzielenia D nad F i postępować podobnie do powyższego, aby skonstruować nieredukowalną redukcyjną parę podwójną typu II. Dla typu I zaczyna się od algebry dzielenia D z inwolucją τ, postacią hermitowską na U i postać skośno-hermitowską na V (oba nie są zdegenerowane) i tworzy swój iloczyn tensorowy na D , W = U ⊗ D V . Wtedy W jest naturalnie obdarzony strukturą symplektycznej przestrzeni wektorowej nad F , grupy izometrii U i V działają symplektycznie na W i tworzą nieredukowalną redukcyjną parę podwójną typu I. Roger Howe udowodnił, że do izomorfizmu każda nieredukowalna w ten sposób powstaje podwójna para. Wyraźna lista dla sprawy F = R pojawia się w Howe (1989b) .

Zobacz też

  •    Howe, Roger E. (1979), „Serie θ i teoria niezmienników” (PDF) , w: Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), część 1, Proc . Sympozjum Czysta matematyka., XXXIII, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2 , MR 0546602
  •   Howe, Roger E. (1989a), „Uwagi na temat klasycznej teorii niezmienników”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 .
  •   Howe, Roger E. (1989b), „Przekraczanie klasycznej niezmiennej teorii”, Journal of the American Mathematical Society , American Mathematical Society , 2 (3): 535–552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR 1990942 .
  •   Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Reprezentacje i niezmienniki grup klasycznych , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2 .
Pobrane z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Reductive_dual_pair&oldid=1020415143 ”