Korespondencja theta

W matematyce korespondencja theta lub korespondencja Howe'a jest matematyczną relacją między reprezentacjami dwóch grup redukcyjnej pary podwójnej . Lokalna korespondencja theta dotyczy nieredukowalnych dopuszczalnych reprezentacji w polu lokalnym , podczas gdy globalna korespondencja theta dotyczy nieredukowalnych automorficznych reprezentacji w polu globalnym .

Korespondencja theta została wprowadzona przez Rogera Howe'a w Howe (1979) . Jego nazwa powstała ze względu na jego pochodzenie w teoretycznym sformułowaniu teorii szeregu theta André Weila w Weil (1964) . Korespondencja Shimury skonstruowana przez Jeana-Loupa Waldspurgera w Waldspurger (1980) i Waldspurger (1991) może być postrzegana jako przykład korespondencji theta.

Oświadczenie

Organizować coś

Niech będzie $polem$ lub globalnym, a $.$ charakterystycznym Niech $będzie$ symplektyczną przestrzenią nad i $_$ $.$ _ _ _

Napraw redukcyjną podwójną parę ${\ Displaystyle (G, H)}$ w ${\ Displaystyle Sp (W)}$ . Istnieje klasyfikacja redukcyjnych par podwójnych.

Lokalna korespondencja theta

${\ displaystyle F}$ jest teraz polem lokalnym. Napraw nietrywialny znak addytywny ${\ displaystyle \ psi}$ z ${\ displaystyle F}$ . Istnieje reprezentacja Weila $z$ metaplektycznej związanej , jako $Displaystyle$ \ $\ omega _ {\ psi}$

Biorąc pod uwagę redukcyjną parę podwójną ${\ Displaystyle (G, H)}$ w ${\ Displaystyle Sp (W)}$ , otrzymuje się parę podgrup dojeżdżających do pracy ${\ displaystyle ({\ widetilde {G}}, {\ widetilde {H}})}$ w ${\ Displaystyle Mp (W)}$ przez odciągnięcie mapy projekcji z ${\ Displaystyle Mp (W)}$ do ${\ Displaystyle Sp (W)}$ .

Lokalna zgodność theta to zgodność 1: 1 między pewnymi nieredukowalnymi dopuszczalnymi reprezentacjami $displaystyle {\ widetilde {G$ pewnymi nieredukowalnymi dopuszczalnymi reprezentacjami , uzyskanymi ${\$ $Displaystyle Mp$ reprezentację Weila z $W)}$ do podgrupy ${\ Displaystyle {\ widetilde {G}} \ cdot {\ widetilde {H}}}$ . Korespondencja została zdefiniowana przez Rogera Howe'a w Howe (1979) . Twierdzenie, że jest to zgodność 1:1, nazywa się hipotezą dualności Howe'a .

Kluczowe właściwości lokalnej korespondencji theta obejmują jej zgodność z relacjami indukcji i zachowania Bernsteina-Zelevinsky'ego dotyczącymi pierwszych wskaźników występowania wzdłuż wież Witta .

Globalna korespondencja theta

Stephen Rallis pokazał wersję globalnej hipotezy dualności Howe'a dla automorficznych reprezentacji kłów w polu globalnym, zakładając ważność hipotezy dualizmu Howe'a dla wszystkich miejsc lokalnych.

Hipoteza dualizmu Howe'a

Zdefiniuj zbiór nieredukowalnych dopuszczalnych reprezentacji $} \ widetilde {G}}}$ $\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {G}}, \ omega _ {\ psi}$ , które można zrealizować jako iloraz ${\ Displaystyle \ omega _ {\ psi}}$ . Zdefiniuj ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {H}}, \ omega _ {\ psi})}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {G}} \ cdot {\ widetilde {H}} \ omega _ {\ psi})} , podobnie$ .

Hipoteza dualizmu Howe'a głosi, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {G}} \ cdot {\ widetilde {H}}, \ omega _ {\ psi})}$ jest wykresem bijekcji między ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {G}}, \ omega _ {\ psi})}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ widetilde {H}}, \ omega _ {\ psi})$ }

Hipoteza dualności Howe'a dla lokalnych pól Archimedesa została udowodniona przez Rogera Howe'a . Dla ${\ displaystyle p}$ -adic pól lokalnych z $,$ udowodnił to Jean-Loup Waldspurger . Alberto Mínguez dał później dowód na podwójne pary ogólnych grup liniowych , który działa dla dowolnej charakterystyki reszt. W przypadku ortogonalno-symplektycznych lub unitarnych par bliźniaczych udowodnili to Wee Teck Gan i Shuichiro Takeda. Ostatni przypadek podwójnych par czwartorzędowych został zakończony przez Wee Teck Gan i Binyong Sun.

Zobacz też

Bibliografia

Gan, Wee Teck ; Takeda, Shuichiro (2016), „Dowód hipotezy dualizmu Howe'a”, J. Amer. Matematyka soc. , 29 (2): 473–493, arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090/jams/839 , S2CID 942882
Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017), „Przypuszczenie dualizmu Howe'a: przypadek kwaternionu”, w Cogdell, J .; Kim, J.-L.; Zhu, C.-B. (red.), Teoria reprezentacji, teoria liczb i teoria niezmienników , Progr. Math., 323, Birkäuser/Springer, s. 175–192
Howe, Roger E. (1979), „szereg θ i teoria niezmienników”, w: Borel, A .; Casselman, W. (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), część 1, Proc . Sympozjum Czysta matematyka., XXXIII, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2 , MR 0546602
Howe, Roger E. (1989), „Przekraczanie klasycznej teorii niezmienników”, J. Amer. Matematyka soc. , 2 (3): 535–552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR 1990942
Kudla, Stephen S. (1986), „O lokalnej korespondencji theta”, Invent. Matematyka , 83 (2): 229–255, doi : 10.1007/BF01388961 , S2CID 122106772
Mínguez, Alberto (2008), „Korespondencja Howe explicite: paires duales de type II”, Ann. nauka Ek. Norma. Super. , 4, 41 (5): 717–741, doi : 10.24033/asens.2080
Mœglin, Colette ; Vignéras, Marie-France ; Waldspurger, Jean-Loup (1987), Correspondances de Howe sur un corps p-adique , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1291, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0082712 , ISBN 978-3-540-18699-1 , MR 1041060
Rallis, Stephen (1984), „O hipotezie dualizmu Howe'a”, Compositio Math. , 51 (3): 333–399
słońce, binyong ; Zhu, Chen-Bo (2015), „Stosunki ochrony lokalnej korespondencji theta”, J. Amer. Matematyka soc. , 28 (4): 939–983, arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00817-1 , S2CID 5936119
Waldspurger, Jean-Loup (1980), „Korespondencja Shimury”, J. Math. Pures Appl. , 59 (9): 1–132
Waldspurger, Jean-Loup (1990), „Démonstration d'une conjecture de dualité de Howe dans le cas p-adique, p ≠ 2”, Festschrift na cześć II Piatetskiego-Shapiro z okazji jego sześćdziesiątych urodzin, część I , Izraelska matematyka. konf. Proc., 2 : 267–324
Waldspurger, Jean-Loup (1991), „Correspondances de Shimura et quaternions”, Forum Math. , 3 (3): 219–307, doi : 10.1515/form.1991.3.219 , S2CID 123512840
Weil, André (1964), „Sur sures groupes d'opérateurs unitaires”, Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012