Grupa Harada-Norton

W obszarze współczesnej algebry znanej jako teoria grup , grupa Harady – Nortona HN jest sporadyczną prostą grupą rzędu

2 ¹⁴ · 3 ⁶ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 19

= 273030912000000

≈ 3 × 10 ¹⁴ .

Historia i właściwości

HN jest jedną z 26 grup sporadycznych i została odkryta przez Haradę ( 1976 ) i Nortona ( 1975 )).

Jego mnożnik Schura jest trywialny, a jego zewnętrzna grupa automorfizmów ma rząd 2.

HN ma inwolucję, której centralizator ma postać 2.HS.2, gdzie HS to grupa Higmana-Simsa (tak znalazła ją Harada).

Prime 5 odgrywa szczególną rolę w grupie. Na przykład centralizuje element rzędu 5 w grupie Potworów (tak znalazł go Norton), w wyniku czego działa naturalnie na algebrze operatora wierzchołków na polu z 5 elementami ( Lux, Noeske & Ryba 2008 ). Oznacza to, że działa na 133-wymiarowej algebrze na F ₅ z iloczynem przemiennym, ale nieasocjacyjnym, analogicznie do algebry Griessa ( Ryba 1996 ).

Uogólniony monstrualny bimber

Conway i Norton zasugerowali w swoim artykule z 1979 roku, że monstrualny bimber nie ogranicza się do potwora, ale że podobne zjawiska można znaleźć w innych grupach. Larissa Queen i inni odkryli następnie, że można skonstruować rozszerzenia wielu Hauptmoduln z prostych kombinacji wymiarów grup sporadycznych. Dla przypomnienia, liczba pierwsza 5 odgrywa szczególną rolę w grupie, a dla HN odpowiednim szeregiem McKay-Thompsona jest gdzie można ustawić stały wyraz ${\ Displaystyle T_ {5A} (\ tau)}$ a(0) = −6 ( OEIS : A007251 ),

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} j_ {5A} (\ tau) & = T_ {5A} (\ tau) -6 \\& = \ left({\tfrac {\eta (\tau)}{\eta (5\tau)}}\right)^{6}+5^{3}\left({\tfrac {\eta (5\tau) }{\eta (\tau )}}\right)^{6}\\&={\frac {1}{q}}-6+134q+760q^{2}+3345q^{3}+12256q^ {4}+39350q^{5}+\kropki \end{wyrównane}}}

a η ( τ ) jest funkcją eta Dedekinda .

Maksymalne podgrupy

Norton i Wilson (1986) znaleźli 14 klas koniugacji maksymalnych podgrup HN w następujący sposób :

12 _{_}
2.HS.2
U ₃ (8): 3
2 ¹⁺⁸ .(A ₅ × A ₅ ).2
(D ₁₀ × U ₃ (5)).2
5 ¹⁺⁴ .2 ¹⁺⁴ .5.4
2 ⁶ .U ₄ (2)
(A ₆ × A ₆ ).D ₈
2 ³⁺²⁺⁶ .(3 × L ₃ (2))
5 ²⁺¹⁺² .4.A ₅
M ₁₂ :2 (Dwie klasy połączone zewnętrznym automorfizmem)
3 ⁴ :2.(A ₄ × A ₄ ).4
3 ¹⁺⁴ :4.A ₅

Harada, Koichiro (1976), „Na prostej grupie F rzędu 2 ¹⁴ · 3 ⁶ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 19”, Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ Utah, Park City, Utah, 1975) , Boston, MA: Academic Press , s. 119–276, MR 0401904
Lux, Klaus; Noeske, Feliks; Ryba, Alexander JE (2008), „5-modułowe postacie sporadycznej prostej grupy Harada – Norton HN i jej grupy automorfizmów HN.2”, Journal of Algebra , 319 (1): 320–335, doi : 10,1016 / j .jalgebra.2007.03.046 , ISSN 0021-8693 , MR 2378074
SP Norton, F i inne proste grupy , praca doktorska, Cambridge 1975.
Norton, SP; Wilson, Robert A. (1986), „Maksymalne podgrupy grupy Harada-Norton”, Journal of Algebra , 103 (1): 362–376, doi : 10.1016/0021-8693 (86) 90192-4 , ISSN 0021- 8693 , MR 0860712
Ryba, Alexander JE (1996), „Naturalna algebra niezmienna dla grupy Harada-Norton”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 119 (4): 597–614, doi : 10.1017 / S0305004100074454 , ISSN 0305-0041 , MR 1362942

Linki zewnętrzne