Twierdzenie Frobeniusa ( teoria grup )
W matematycznej teorii grup twierdzenie Frobeniusa stwierdza, że jeśli n dzieli rząd skończonej grupy G , to liczba rozwiązań x n = 1 jest wielokrotnością n . Został wprowadzony przez Frobeniusa ( 1903 ).
Oświadczenie
Bardziej ogólna wersja twierdzenia Frobeniusa mówi, że jeśli C jest klasą koniugacji z h elementami skończonej grupy G z g elementami, a n jest dodatnią liczbą całkowitą, to liczba elementów k takich, że k n jest w C , jest wielokrotnością największy wspólny dzielnik ( hn , g ) ( Hall 1959 , twierdzenie 9.1.1).
Aplikacje
Jednym z zastosowań twierdzenia Frobeniusa jest wykazanie, że współczynniki wykładnicze Artina – Hasse są całkami p , poprzez interpretację ich w kategoriach liczby elementów rzędu a potęgi p w grupie symetrycznej S n .
Hipoteza Frobeniusa
Frobenius przypuszczał, że jeśli dodatkowo liczba rozwiązań dla x n = 1 wynosi dokładnie n , gdzie n dzieli rząd G , to rozwiązania te tworzą podgrupę normalną . Zostało to udowodnione w wyniku klasyfikacji skończonych grup prostych . Grupa symetryczna S 3 ma dokładnie 4 rozwiązania dla x 4 = 1, ale nie tworzą one normalnej podgrupy; nie jest to kontrprzykład dla przypuszczenia, ponieważ 4 nie dzieli rzędu S 3 .
- Frobenius, G. (1903), "Über einen Fundamentalsatz der Gruppenttheorie", Berl. Ber. : 987–991, JFM 34.0153.01
- Hall, Marshall (1959), Teoria grup , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215