Twierdzenie Waltera

W matematyce twierdzenie Waltera , udowodnione przez Johna H. Waltera ( 1967 , 1969 ), opisuje grupy skończone , których podgrupa Sylowa 2 jest abelowa . Bender (1970) użył metody Bendera , aby dać prostszy dowód.

Oświadczenie

Twierdzenie Waltera stwierdza, że jeśli G jest grupą skończoną, której podgrupy 2-sylowe są abelowe, to G / O ( G ) ma podgrupę normalną o indeksie nieparzystym, która jest iloczynem grup, z których każda jest grupą 2- lub jedną z grupy proste PSL ₂ ( q ) dla q = 2 ⁿ lub q = 3 lub 5 mod 8, albo grupa Janko J1 , albo grupy Ree ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ). (Tutaj O (G) oznacza unikalną największą normalną podgrupę G nieparzystego rzędu).

Oryginalne stwierdzenie twierdzenia Waltera nie do końca identyfikowało grupy Ree, a jedynie stwierdzało, że odpowiadające im grupy mają podobną strukturę podgrup jak grupy Ree. Thompson ( 1967 , 1972 , 1977 ) oraz Bombieri, Odlyzko i Hunt (1980) wykazali później, że wszystkie one są grupami Ree, a Enguehard (1986) przedstawił ujednolicony opis tego wyniku.

Bender, Helmut (1970), „O grupach z abelowymi podgrupami Sylowa 2”, Mathematische Zeitschrift , 117 : 164–176, doi : 10.1007 / BF01109839 , ISSN 0025-5874 , MR 0288180
Bombieri, Enrico ; Odłyżko, Andrzej ; Hunt, D. (1980), „Problem Thompsona (σ ² = 3)”, Inventiones Mathematicae , 58 (1): 77–100, doi : 10.1007/BF01402275 , ISSN 0020-9910 , MR 0570875
Enguehard, Michel (1986), „Caractérisation des groupes de Ree”, Astérisque (142): 49–139, ISSN 0303-1179 , MR 0873958
Thompson, John G. (1967), „Ku charakteryzacji E ₂^* (q)”, Journal of Algebra , 7 : 406–414, doi : 10.1016/0021-8693 (67) 90080-4 , ISSN 0021-8693 , MR 0223448
Thompson, John G. (1972), „Ku charakteryzacji E ₂^* (q). II”, Journal of Algebra , 20 : 610–621, doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90074-9 , ISSN 0021 -8693 , MR 0313377
Thompson, John G. (1977), „Ku charakteryzacji E ₂^* (q). III”, Journal of Algebra , 49 (1): 162–166, doi : 10.1016 / 0021-8693 (77) 90276-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0453858
Walter, John H. (1967), „Grupy skończone z abelowymi Sylow 2-podgrupami rzędu 8”, Inventiones Mathematicae , 2 : 332–376, doi : 10.1007 / BF01428899 , ISSN 0020-9910 , MR 0218445
Walter, John H. (1969), „Charakterystyka grup skończonych z abelowymi 2-podgrupami Sylowa”, Annals of Mathematics , Second Series, 89 : 405–514, doi : 10.2307/1970648 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970648 , MR 0249504