3 D 4
grupy trialności Steinberga typu 3 D 4 tworzą rodzinę grup Steinberga lub skręconych grup Chevalleya . Są to quasi-rozszczepione formy D 4 , zależne od sześciennego rozszerzenia Galois ciał K ⊂ L , i wykorzystujące automorfizm trialności diagramu Dynkina D 4 . Niestety notacja grupy nie jest ustandaryzowana, ponieważ niektórzy autorzy zapisują ją jako 3 D 4 ( K ) (myśląc o 3 D 4 jako grupie algebraicznej przyjmującej wartości w K ), a niektórzy jako 3 D 4 ( L ) (myśląc o grupa jako podgrupa D 4 ( L ) ustalona przez zewnętrzny automorfizm rzędu 3). Grupa 3 D 4 jest bardzo podobna do grupy ortogonalnej lub spinowej w wymiarze 8.
W ciałach skończonych grupy te tworzą jedną z 18 nieskończonych rodzin skończonych grup prostych i zostały wprowadzone przez Steinberga (1959) . Zostały niezależnie odkryte przez Jacquesa Tits in Tits (1958) i Tits (1959) .
Budowa
Prosto spójna rozszczepiona grupa algebraiczna typu D 4 ma automorfizm trialności σ rzędu 3, pochodzący z automorfizmu rzędu 3 swojego diagramu Dynkina. Jeśli L jest ciałem z automorfizmem τ rzędu 3, to wywołało to automorfizm τ rzędu 3 grupy D 4 ( L ). Grupa 3 D 4 ( L ) jest podgrupą D 4 ( L ) punktów ustalonych przez στ. Ma trzy 8-wymiarowe reprezentacje na polu L , permutowane przez zewnętrzny automorfizm τ rzędu 3.
Nad skończonymi polami
Grupa 3 re 4 ( q 3 ) ma rząd q 12 ( q 8 + q 4 + 1) ( q 6 - 1) ( q 2 - 1). Dla porównania, rozszczepiona grupa spinowa D 4 ( q ) w wymiarze 8 ma rząd q 12 ( q 8 - 2 q 4 + 1) ( q 6 - 1) ( q 2 - 1) i quasi rozszczepiona grupa spinowa 2 D 4 ( q 2 ) w wymiarze 8 ma rząd q 12 ( q 8 - 1) ( q 6 - 1) ( q 2 - 1).
Grupa 3 D 4 ( q 3 ) jest zawsze prosta . Mnożnik Schura jest zawsze trywialny. Zewnętrzna pf grupa automorfizmów jest cykliczna rzędu f , gdzie q3 = i p jest liczbą pierwszą .
Ta grupa jest czasami nazywana 3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ) lub pokręconą grupą Chevalley.
3 re 4 (2 3 )
Najmniejszy członek tej rodziny grup ma kilka wyjątkowych właściwości, których nie mają inni członkowie rodziny. Ma rząd 211341312 = 2 12 ⋅3 4 ⋅7 2 ⋅13 i zewnętrzną grupę automorfizmów rzędu 3.
Grupa automorfizmu 3 D 4 (2 3 ) jest maksymalną podgrupą sporadycznej grupy Thompsona , a także jest podgrupą zwartej grupy Liego typu F 4 o wymiarze 52. W szczególności działa na 26-wymiarową reprezentację F 4 . W tej reprezentacji ustala 26-wymiarową siatkę, która jest unikalną 26-wymiarową parzystą siatką wyznacznika 3 bez wektorów norm 2, badaną przez Elkiesa i Grossa (1996) . Liczba podwójna tej sieci ma 819 par wektorów o normie 8/3, na których 3 D 4 (2 3 ) działa jako grupa permutacji rzędu 4 .
Grupa 3 D 4 (2 3 ) ma 9 klas podgrup maksymalnych o strukturze
- 2 1+8 :L 2 (8) ustalenie punktu reprezentacji permutacji rzędu 4 na 819 punktach.
- [2 11 ]:(7 × S 3 )
- U 3 (3):2
- S 3 × L 2 (8)
- (7 × L 2 (7)):2
- 3 1+2 .2S 4
- 7 2 :2A 4
- 3 2 :2A 4
- 13:4
Zobacz też
- Carter, Roger W. (1989) [1972], Proste grupy typu Lie , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6 , MR 0407163
- Elkies, Noam D.; Gross, Benedict H. (1996), „Wyjątkowy stożek i krata pijawki”, International Mathematics Research Notices , 1996 (14): 665–698, doi : 10.1155 / S1073792896000426 , ISSN 1073-7928 , MR 1411589
- Steinberg, Robert (1959), „Wariacje na temat Chevalleya” , Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN 0030-8730 , MR 0109191
- Steinberg, Robert (1968), Wykłady o grupach Chevalley , Yale University, New Haven, Connecticut, MR 0466335 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-09-10
- Cycki, Jacques (1958), Les "formes réelles" des groupes de type E 6 , Séminaire Bourbaki; 10 lat temu: 1957/1958. Teksty konferencji; Exposés 152 do 168; 2e wyd. corigée, Exposé 162, tom. 15, Paryż: Secrétariat math'ematique, MR 0106247
- Cycki, Jacques (1959), „Sur la trialité i pewne grupy qui s'en déduisent” , Inst. Hautes Études Sci. Publikacja Matematyka , 2 : 13–60, doi : 10.1007/BF02684706 , S2CID 120426125