Algebra kłamstw potworów

W matematyce potworna algebra Liego jest nieskończenie wymiarową uogólnioną algebrą Kaca-Moody'ego , na której działa grupa potworów , która została wykorzystana do udowodnienia potwornych przypuszczeń bimbru .

Struktura

Potworna algebra Liego m jest algebrą Liego stopnia Z ² . Kawałek stopnia ( m , n ) ma wymiar c _mn jeśli ( m , n ) ≠ (0, 0) i wymiar 2, jeśli ( m , n ) = (0, 0). Liczby całkowite c _n j są współczynnikami q ⁿ niezmiennika jako eliptycznej funkcji modułowej

${\ Displaystyle j (q) -744 = {1 \ ponad q} + 196884q + 21493760q ^ {2} + \ cdots.}$

Podalgebra Cartana jest dwuwymiarową podprzestrzenią stopnia (0, 0), więc potworna algebra Liego ma rangę 2.

Potworna algebra Liego ma tylko jeden rzeczywisty pierwiastek prosty , dany przez wektor (1, −1), a grupa Weyla ma rząd 2 i działa poprzez odwzorowanie ( m , n ) na ( n , m ). Wyimaginowane pierwiastki proste to wektory (1, n ) dla n = 1, 2, 3, ... i mają wielokrotności c _n .

Wzór na mianownik algebry Liego potwora jest wzorem na iloczyn niezmiennika j :

${\ Displaystyle j (p) -j (q) = \ lewo ({1 \ nad p} - {1 \ nad q} \ prawej) \ prod _ {n, m = 1} ^ {\ infty} (1- p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.}$

Formuła mianownika (czasami nazywana nieskończoną tożsamością produktu Koike-Nortona-Zagiera) została odkryta w latach 80. XX wieku. Kilku matematyków, w tym Masao Koike, Simon P. Norton i Don Zagier , niezależnie dokonało odkrycia.

Budowa

Istnieją dwa sposoby skonstruowania potwornej algebry Liego. Ponieważ jest to uogólniona algebra Kaca-Moody'ego, której proste pierwiastki są znane, można ją zdefiniować za pomocą jawnych generatorów i relacji; jednak ta prezentacja nie przedstawia akcji grupy potworów.

Można go również skonstruować z algebry wierzchołków potworów , używając twierdzenia Goddarda-Thorna z teorii strun . Ta konstrukcja jest znacznie trudniejsza, ale też dowodzi, że grupa potworów działa na nią naturalnie.

•    Borcherds, Richard (1986). „Algebry wierzchołków, algebry Kaca-Moody'ego i potwór” . proc. Natl. Acad. nauka USA . 83 (10): 3068–71. Bibcode : 1986PNAS...83.3068B . doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 . PMC 323452 . PMID 16593694 .
•   Frenkel, Igor; Łepowski, Jakub; Meurman, Arne (1988). Algebry operatorów wierzchołków i Monster . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 134. Prasa akademicka. ISBN 0-12-267065-5 .
•   Kac, Victor (1996). Algebry wierzchołków dla początkujących . Seria wykładów uniwersyteckich. Tom. 10. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-0643-2 . ;   Kac, Victor G (1998). poprawione i rozszerzone, wydanie 2 . ISBN 0-8218-1396-X .
  • Kac, Victor (1999). „Poprawki do książki„ Algebry wierzchołków dla początkujących ”, wydanie drugie, autorstwa Victora Kaca”. arXiv : matematyka/9901070 .
•   Carter, RW (2005). Algebry kłamstw typu skończonego i afinicznego . Studia Cambridge. Tom. 96. ISBN 0-521-85138-6 . (Wstępny tekst do studium z krótkim opisem algebry Borcherdsa w rozdz. 21)