Twierdzenie Goddarda-Thorna

W matematyce , aw szczególności w matematycznym tle teorii strun , twierdzenie Goddarda-Thorna (zwane także twierdzeniem o braku ducha ) jest twierdzeniem opisującym właściwości funktora kwantyzującego struny bozonowe . Jej nazwa pochodzi od Petera Goddarda i Charlesa Thorna .

Nazwa „twierdzenie o braku ducha” wynika z faktu, że w oryginalnym sformułowaniu twierdzenia naturalny iloczyn wewnętrzny indukowany w wyjściowej przestrzeni wektorowej jest dodatnio określony. Nie było więc tak zwanych duchów ( duchów Pauli-Villarsa ), czyli wektorów normy negatywnej. Nazwa „twierdzenie o braku ducha” jest również grą słów dotyczącą twierdzenia o braku ruchu mechaniki kwantowej.

Formalizm

Istnieją dwa naturalnie izomorficzne funktory, które są zwykle używane do kwantyzacji strun bozonowych. W obu przypadkach zaczyna się od reprezentacji energii dodatniej algebry Virasoro ładunku centralnego 26, wyposażonej w formy dwuliniowe niezmienne Virasoro, a kończy na przestrzeniach wektorowych wyposażonych w formy dwuliniowe. Tutaj „niezmiennik Virasoro” oznacza, że ​​L n jest sprzężone z L - n dla wszystkich liczb całkowitych n .

Historycznie pierwszym funktorem jest „stara kwantyzacja kanoniczna” i jest ona dana jako iloraz podprzestrzeni wagi 1 przez pierwiastek postaci dwuliniowej. Tutaj „podprzestrzeń pierwotna” jest zbiorem wektorów anihilowanych przez L n dla wszystkich ściśle dodatnich n , a „waga 1” oznacza L 0 działa według tożsamości. Drugi, naturalnie izomorficzny funktor, jest określony przez kohomologię BRST stopnia 1. Starsze traktowanie kohomologii BRST często ma przesunięcie stopnia z powodu zmiany wyboru ładunku BRST, więc można zobaczyć kohomologię stopnia -1/2 w artykułach i tekstach sprzed 1995 r. Dowód, że funktory są naturalnie izomorficzne, może być Teorii strun Polchinskiego .

Twierdzenie Goddarda-Thorna sprowadza się do twierdzenia, że ​​​​ten funktor kwantyzacji mniej więcej anuluje dodanie dwóch wolnych bozonów, jak przypuszczał Lovelace w 1971 r. Precyzyjne twierdzenie Lovelace'a było takie, że w wymiarze krytycznym 26 tożsamości Warda typu Virasoro anulują dwa pełne zestawy oscylatorów. Matematycznie jest to następujące twierdzenie:

0 Niech V będzie unitaryzowalną reprezentacją Virasoro ładunku centralnego 24 o niezmiennej dla Virasoro postaci dwuliniowej i niech π
1,1 λ będzie nieredukowalnym modułem algebry Heisenberga Liego R 1,1 dołączonym do niezerowego wektora λ w R 1,1 . Wtedy obraz V ⊗ π
1,1 λ pod kwantyzacją jest kanonicznie izomorficzny z podprzestrzenią V , na którą L działa przez 1-( λ , λ ).

Właściwość no-ghost następuje natychmiast, ponieważ hermitowska struktura dodatnio określona V jest przenoszona na obraz pod kwantyzacją.

Aplikacje

Opisane tutaj funktory kwantyzacji strun bozonowych można zastosować do dowolnej konforemnej algebry wierzchołków o ładunku centralnym 26, a wynik ma naturalnie strukturę algebry Liego. Twierdzenie Goddarda-Thorna można następnie zastosować do konkretnego opisu algebry Liego w kategoriach wejściowej algebry wierzchołków.

Być może najbardziej spektakularnym przypadkiem tego zastosowania jest dowód Richarda Borcherdsa na monstrualną hipotezę bimberu, w której unitaryzowalną reprezentacją Virasoro jest potworna algebra wierzchołków (zwana także „modułem bimbru”) skonstruowana przez Frenkla, Lepowsky'ego i Meurmana. Biorąc iloczyn tensorowy z algebrą wierzchołków dołączoną do sieci hiperbolicznej rzędu 2 i stosując kwantyzację, otrzymuje się potworną algebrę Liego , która jest uogólnioną algebrą Kaca-Moody'ego klasyfikowany przez kratę. Używając twierdzenia Goddarda-Thorna, Borcherds wykazał, że jednorodne części algebry Liego są naturalnie izomorficzne ze stopniowanymi częściami modułu Moonshine, jako reprezentacje prostej grupy potworów .

Wcześniejsze zastosowania obejmują wyznaczanie przez Frenkla górnych granic krotności pierwiastków algebry Liego Kaca-Moody'ego, której diagramem Dynkina jest krata Leecha, oraz konstrukcja Borcherdsa uogólnionej algebry Lie Kaca-Moody'ego, która zawiera algebrę Lie Frenkla i nasyca granicę 1/∆ Frenkla .

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Goddard – Thorn_theorem&oldid=1127026594 ”