Płaszczyzna translacji

W matematyce płaszczyzna translacji to płaszczyzna rzutowa , która dopuszcza pewną grupę symetrii (opisaną poniżej). Wraz z płaszczyznami Hughesa i Figueroa, płaszczyzny translacji należą do najlepiej zbadanych ze znanych płaszczyzn niedesargueskich , a zdecydowana większość znanych płaszczyzn niedesargueskich to albo płaszczyzny translacyjne, albo można je uzyskać z płaszczyzny translacyjnej poprzez kolejne iteracje dualizacji i/lub derywacji .

Na płaszczyźnie rzutowej niech P reprezentuje punkt, a l linię. Centralna kolineacja ze środkiem P i osią l jest kolineacją ustalającą każdy punkt na l i każdą prostą przechodzącą przez P . Nazywa się to uniesieniem , jeśli P jest na l , w przeciwnym razie nazywa się to homologią . Centralne kolineacje ze środkiem P i osią l utworzyć grupę. Prosta l na płaszczyźnie rzutowej Π jest linią translacyjną , jeżeli grupa wszystkich podniesień o osi l działa przechodnio na punkty płaszczyzny afinicznej otrzymanej przez usunięcie l z płaszczyzny Π , Π _l ( pochodna afiniczna Π ). Płaszczyzna rzutowa z linią translacji nazywana jest płaszczyzną translacji.

Płaszczyzna afiniczna uzyskana przez usunięcie linii translacji nazywana jest afiniczną płaszczyzną translacji. Chociaż często łatwiej jest pracować z płaszczyznami rzutowymi, w tym kontekście kilku autorów używa terminu płaszczyzna translacji na oznaczenie afinicznej płaszczyzny translacji.

Konstrukcja algebraiczna ze współrzędnymi

Każda płaszczyzna rzutowa może być koordynowana przez co najmniej jeden planarny pierścień trójskładnikowy . W przypadku płaszczyzn translacji zawsze można skoordynować z quasipolem . Jednak niektóre quasi-pola spełniają dodatkowe właściwości algebraiczne, a odpowiadające im płaskie pierścienie trójskładnikowe koordynują płaszczyzny translacji, które dopuszczają dodatkowe symetrie. Niektóre z tych specjalnych klas to:

• Samoloty bliskiego pola - koordynowane przez bliskie pola .
• Płaszczyzny półpola - skoordynowane przez półpola , płaszczyzny półpola mają tę właściwość, że ich dualność jest jednocześnie płaszczyzną translacji.
• Płaszczyzny Moufanga - skoordynowane przez alternatywne pierścienie podziału , płaszczyzny Moufanga to dokładnie te płaszczyzny translacji, które mają co najmniej dwie linie translacji. Każda skończona płaszczyzna Moufanga jest Desarguesem , a każda płaszczyzna Desarguesa jest płaszczyzną Moufanga, ale istnieją nieskończone płaszczyzny Moufanga, które nie są Desarguesem (takie jak płaszczyzna Cayleya ).

Biorąc pod uwagę quasipole z operacjami + (dodawanie) i ( $mnożenie$ ), można zdefiniować płaski pierścień trójskładnikowy, aby utworzyć współrzędne płaszczyzny translacji płaszczyzny afinicznej bezpośrednio z quasipola przez zdefiniowanie punktów jako par, gdzie są $}$ za { $i$ displaystyle $b$ { elementy quasi-pola, a proste to zbiory punktów ${\ Displaystyle (x, y)}$ spełniające równanie postaci ${\ Displaystyle y = m \ cdot x + b}$ , jak ${\ Displaystyle m}$ i ${\ Displaystyle b}$ zmieniać się w elementach quasipola, wraz ze zbiorami punktów spełniających $x$ postaci $a}$ jako ${\ displaystyle a}$ zmienia się w zależności od elementów quasipola.

Geometryczna konstrukcja z rozkładówkami (Bruck/Bose)

Płaszczyzny translacji są powiązane z rozpiętością nieparzystowymiarowych przestrzeni rzutowych za pomocą konstrukcji Brucka-Bose'a. Rozrzut PG (2 n +1, K ) , gdzie ${\ displaystyle n \ geq 1}$ jest liczbą całkowitą, a K pierścieniem podziału, jest podziałem przestrzeni na rozłączne parami n -wymiarowe podprzestrzenie. W skończonym przypadku rozpiętość PG(2 n +1, q ) jest zbiorem q ^{n +1} + 1 n -wymiarowe podprzestrzenie, bez dwóch przecinających się.

Biorąc pod uwagę rozpiętość S PG (2 n +1, K ) , konstrukcja Brucka-Bose'a tworzy płaszczyznę translacji w następujący sposób: Osadź PG (2 n +1, K ) jako hiperpłaszczyznę ${\ displaystyle \ Sigma}$ PG ( 2 n +2, K ) . Zdefiniuj strukturę występowania A ( S ) z „punktami”, punktami PG(2 n +2, K ) nie na $\ Displaystyle \ Sigma}$$elemencie$ i „linie” ( n + 1) -wymiarowe podprzestrzenie PG (2 n + 2, K ) spotykają się w S . Wtedy A ( S ) jest afiniczną płaszczyzną translacji. W skończonym przypadku ta procedura tworzy płaszczyznę translacji rzędu q ^{n +1} .

Odwrotność tego stwierdzenia jest prawie zawsze prawdziwa. Dowolna płaszczyzna translacji, która jest skoordynowana przez quasipole, które jest skończone wymiarowo nad swoim jądrem K ( K jest z konieczności pierścieniem podziału ), może być wygenerowana z rozrzutu PG(2 n +1, K ) przy użyciu konstrukcji Brucka-Bose'a, gdzie ( n +1) jest wymiarem quasi-pola, rozumianego jako moduł nad jego jądrem. Natychmiastowym następstwem tego wyniku jest to, że z tej konstrukcji można uzyskać każdą skończoną płaszczyznę translacji.

Konstrukcja algebraiczna ze spreadami (André)

André podał wcześniejszą algebraiczną reprezentację (afinicznych) płaszczyzn translacji, która jest zasadniczo taka sama jak Bruck/Bose. Niech V będzie dwuwymiarową _ przestrzenią wektorową nad ciałem F . Rozpiętość V jest zbiorem S n - wymiarowych podprzestrzeni V , które dzielą niezerowe wektory V . Członkowie S nazywani są składnikami spreadu, a jeśli V _i oraz V _j są wtedy odrębnymi składowymi V _i ⊕ V _j = V . Niech A będzie strukturą incydencji , której punkty są wektorami V , a proste są kozbiorami składowych, czyli zbiorami postaci v + U , gdzie v jest wektorem V , a U jest składową rozrzutu S . Następnie:

A jest płaszczyzną afiniczną, a grupa translacji x → x + w dla w w V jest grupą automorfizmów działającą regularnie na punktach tej płaszczyzny.

Przypadek skończony

Niech F = GF( q ) = F _q , skończone pole rzędu q i V 2 reprezentowana n -wymiarowa przestrzeń wektorowa nad F jako:

${\ Displaystyle V = \ {(x, y) \ dwukropek x, y \ w F ^ {n} \}.}$

Niech ₀ M , M ₁ , ..., M _{q ⁿ - 1} będą n × n macierzami nad F z tą własnością, że M _i – M _j jest nieosobliwa, ilekroć i ≠ j . Dla i = 0, 1, ..., q ⁿ – 1 określ,

${\ Displaystyle V_ {i} = \ {(x, xM_ {i}) \ dwukropek x \ w F ^ {n} \},}$

zwykle określane jako podprzestrzenie „ y = xM _i ”. Zdefiniuj również:

${\ Displaystyle V_ {q ^ {n}} = \ {(0, y) \ dwukropek y \ w F ^ {n} \}}$

podprzestrzeń „ x = 0 ”.

Zbiór ₀ { V , V ₁ , ..., V _{q ⁿ} } jest rozkładem V .

Zbiór macierzy M _i użyty w tej konstrukcji nazywany jest zbiorem rozproszonym i ten zestaw macierzy może być użyty bezpośrednio w przestrzeni rzutowej. ${\ Displaystyle PG (2n-1, q) },$ aby utworzyć rozkładówkę w sensie geometrycznym.

Reguli i zwykłe spready

Główny artykuł: Spready

Niech będzie przestrzenią rzutową PG (2 +1 , K ) $n$ dla $\ displaystyle n \ geq 1}$ liczby całkowitej i K pierścienia podziału. Regulus R w jest zbiorem parami rozłącznych n - wymiarowych podprzestrzeni o następujących właściwościach: ${\ displaystyle \ Sigma}$

1. R zawiera co najmniej 3 elementy
2. Każda prosta spotykająca trzy elementy R , zwana poprzeczną , spotyka każdy element R
3. Każdy punkt poprzecznej do R leży na jakimś elemencie R

Dowolne trzy rozłączne parami n -wymiarowe podprzestrzenie w leżą w unikalnym regulusie ${\ displaystyle \ Sigma} .$ Rozpiętość S jest regularna, jeśli dla dowolnych trzech różnych n -wymiarowych podprzestrzeni S , wszyscy $w$ określonego przez nich unikalnego regulusa są zawarte S . Dla dowolnego pierścienia podziału K z więcej niż 2 elementami, jeśli rozpiętość S PG (2 n +1, K ) jest regularna, to płaszczyzna translacji utworzona przez to rozłożenie za pomocą konstrukcji André/Bruck-Bose jest płaszczyzną Moufanga . Nieco słabsza odwrotność zachodzi: jeśli płaszczyzną translacji jest Pappian , to można ją wygenerować za pomocą konstrukcji André/Bruck-Bose z regularnego rozkładu.

W skończonym przypadku K musi być polem porządku $,$ a klasy płaszczyzn Moufanga, Desarguesa i Pappiana są identyczne, więc to twierdzenie można udoskonalić, aby stwierdzić rozpiętość S PG(2 n +1, q ) jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna translacji utworzona przez to rozłożenie za pomocą konstrukcji André/Bruck-Bose jest Desarguesianem .

W przypadku, gdy K jest polem , wszystkie rozkłady PG (2 n + 1 2) $są$ regulus zawiera tylko trzy elementy Chociaż jedyna płaszczyzna translacji rzędu 8 jest desarguesowska, wiadomo, że istnieją niedesarguezowskie płaszczyzny translacji rzędu 2 ^mi dla każdej liczby całkowitej ${\ displaystyle e \ geq 4}$ .

Rodziny niedesargueskich płaszczyzn translacji

• Płaszczyzny Halla $zwanego$ z regularnego rozkładu, jeden regulus został zastąpiony zbiorem linii poprzecznych do tego regulusa ( regulusem ).
• $parami$ z regularnego rozkładu, rozłącznych reguł został zastąpiony przez ich przeciwne reguły
• samoloty Andrzeja
• Samoloty bliskiego zasięgu
• Samoloty półpolowe

Skończone płaszczyzny translacji małego rzędu

Powszechnie wiadomo, że jedynymi płaszczyznami rzutowymi rzędu 8 lub mniejszym są płaszczyzny desargueskie i nie ma żadnych znanych płaszczyzn niedesargueskich rzędu pierwszego. Skończone płaszczyzny translacji muszą mieć główny porządek potęgi. Istnieją cztery płaszczyzny rzutowe rzędu 9, z których dwie to płaszczyzny translacji: płaszczyzna Desarguesa i płaszczyzna Halla . Poniższa tabela przedstawia aktualny stan wiedzy:

Zamówienie	Liczba niedesarguezyjskich Płaszczyzny translacji
9	1
16	7
25	20
27	6
32	≥8
49	1346
64	≥2833

Notatki

•     André, Johannes (1954), "Über nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe" , Mathematische Zeitschrift , 60 : 156–186, doi : 10.1007/BF01187370 , ISSN 0025-5874 , MR 0063056 , S2CID 1 23661471
• Piłka, Symeon; Jana Bamberga; Michela Lavrauwa; Tim Penttila (15.09.2003), Spready symplektyczne (PDF) , Politechnika Katalońska , dostęp 08.10.2008
• Bruck, RH (1969), RCBose i TA Dowling (red.), „Problemy konstrukcyjne skończonych płaszczyzn rzutowych”, Matematyka kombinatoryczna i jej zastosowania , Univ. z North Carolina Press, s. 426–514
• Bruck, RH ; Bose, RC (1966), „Liniowe reprezentacje płaszczyzn rzutowych w przestrzeniach rzutowych” (PDF) , Journal of Algebra , 4 : 117–172, doi : 10.1016/0021-8693 (66) 90054-8
• Bruck, RH ; Bose, RC (1964), „Konstrukcja płaszczyzn translacyjnych z przestrzeni rzutowych” (PDF) , Journal of Algebra , 1 : 85–102, doi : 10.1016/0021-8693 (64) 90010-9
• Czerwiński, Terry; Oakden, David (1992). „Płaszczyzny translacji rzędu dwudziestu pięciu” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 59 (2): 193–217. doi : 10.1016/0097-3165(92)90065-3 .
•    Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
•    Dempwolff, U. (1994). „Płaszczyzny translacyjne rzędu 27” . Projekty, kody i kryptografia . 4 (2): 105–121. doi : 10.1007/BF01578865 . ISSN 0925-1022 . S2CID 12524473 .
• Dover, Jeremy M. (27.02.2019). „Genealogia płaszczyzn translacji rzędu 25”. arXiv : 1902.07838 [ matematyka.CO ].
•   Hall, Marshall (1943), „Płaszczyzny rzutowe” (PDF) , tłum. Amer. Matematyka soc. , 54 (2): 229–277, doi : 10.2307/1990331 , JSTOR 1990331
•   Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), płaszczyzny rzutowe , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
•   Johnson, Norman L.; Jha, Vikram; Biliotti, Mauro (2007), Handbook of Finite Translation Planes , Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-605-1
•   Knuth, Donald E. (1965), „A Class of Projective Planes” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 115 : 541–549, doi : 10.2307/1994285 , JSTOR 1994285
•   Lüneburg, Heinz (1980), Samoloty tłumaczeniowe , Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
•    Mathon, Rudolf; Royle, Gordon F. (1995). „Płaszczyzny translacji rzędu 49” . Projekty, kody i kryptografia . 5 (1): 57–72. doi : 10.1007/BF01388504 . ISSN 0925-1022 . S2CID 1925628 .
• McKay, Brendan D.; Royle, Gordon F. (2014). „W PG (3,8) jest 2834 rozkładów linii” . arXiv : 1404,1643 [ matematyka.CO ].
• Moorhouse, Eric (2007), Incidence Geometry (PDF) , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 29.10.2013
•    Reifart, Arthur (1984). „Klasyfikacja płaszczyzn translacji rzędu 16, II” . Geometria dedykowana . 17 (1). doi : 10.1007/BF00181513 . ISSN 0046-5755 . S2CID 121935740 .
•   Sherk, FA; Pabst, Günther (1977), „Zestawy wskaźników, regulacje i nowa klasa spreadów” (PDF) , Canadian Journal of Mathematics , 29 (1): 132–54, doi : 10.4153 / CJM-1977-013-6 , S2CID 124215765

Dalsza lektura

•   Mauro Biliotti, Vikram Jha, Norman L. Johnson (2001) Podstawy płaszczyzn translacyjnych , Marcel Dekker ISBN 0-8247-0609-9 .

Linki zewnętrzne

• Notatki z wykładu na temat geometrii rzutowej
• Publikacje Keitha Mellingera