Spread (geometria rzutowa)

Często badanym problemem w geometrii dyskretnej jest określenie sposobów, w jakie obiekt może być pokryty innymi prostszymi obiektami, takimi jak punkty, linie i płaszczyzny. W geometrii rzutowej szczególnym przykładem tego problemu, który ma wiele zastosowań, jest określenie, czy i jak przestrzeń rzutowa może być pokryta parami rozłącznych podprzestrzeni, które mają ten sam wymiar; taki podział nazywa się rozkładem . W szczególności rozpiętość przestrzeni rzutowej ${\ Displaystyle PG (d, K)}$ re ${\ Displaystyle d \ geq 1}$$0<r<d}$ liczbą całkowitą, a $pierścieniem podziału$ zbiorem -wymiarowych podprzestrzeni, dla niektórych $displaystyle$${$ takie, że każdy punkt przestrzeni leży dokładnie w jednym z elementów rozkładu.

Spready są szczególnie dobrze zbadane w geometriach rzutowych na polach skończonych, chociaż niektóre godne uwagi wyniki dotyczą również nieskończonych geometrii rzutowych. W przypadku skończonym fundamentalne prace nad spreadami pojawiają się u André i niezależnie u Brucka-Bose'a w związku z teorią płaszczyzn translacji . W $+$ artykułach pokazano, że rozpiętość $skończonej$ przestrzeni rzutowej i ${\ Displaystyle R + 1 \ mid d + 1}$ .

Spready i płaszczyzny translacji

n $n \ geq$$1$$}$$Displaystyle$ przestrzeń zawsze -wymiarowe podprzestrzenie, aw tej sekcji pojęcie rozrzutu odnosi się do tego specyficznego typu rozrzutu; spready w tej postaci mogą (i często występują) również w nieskończonych geometriach rzutowych. Te spready są najszerzej badane w literaturze, ze względu na fakt, że każdy taki spread może być wykorzystany do stworzenia płaszczyzna translacji z wykorzystaniem konstrukcji André/Bruck-Bose.

Reguli i zwykłe spready

Niech będzie przestrzenią rzutową $P$${\ Displaystyle PG (2n + 1, K)}$ całkowitej i ${\ Displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle K}$ pierścień podziału. Regulus w $\ Displaystyle$$\ Sigma}$ to zbiór parami rozłącznych $displaystyle n}$ \ -wymiarowe podprzestrzenie o następujących właściwościach:

1. $zawiera$ co najmniej 3
2. Każda linia spełniająca trzy elementy , zwana poprzeczną , $spełnia$ każdy element $displaystyle R}$
3. Każdy punkt poprzecznej do leży na jakimś elemencie $R$$}$

Dowolne trzy parami rozłączne $podprzestrzenie$$.$ leżą w unikalnym regulusie Rozpiętość jest regularna $S}$ jeśli dla dowolnych trzech różnych $displaystyle$ podprzestrzeni ${$$.$ wszyscy członkowie unikalnego regulusa są przez nich określeni są zawarte w ${\ displaystyle S}$ . Regularne rozrzuty są istotne w teorii płaszczyzn translacji , ponieważ generalnie generują płaszczyzny Moufanga i płaszczyzny Desarguesa w skończonym przypadku, gdy rząd pola otoczenia jest większy niż ${\ displaystyle 2}$ . Wszystkie rozkłady $trywialnie$

Konstruowanie regularnego spreadu

Konstrukcję rozkładu regularnego najłatwiej zobaczyć za pomocą modelu algebraicznego. Pozwalając $być$ -wymiarową przestrzenią wektorową nad polem $_$$}$ \ _ $_$ podprzestrzenie ${\ Displaystyle PG (2n + 1, F)}$ używając $_$ V \ $V$ ten model wykorzystuje jednorodne współrzędne do reprezentowania punktów i hiperpłaszczyzn. Częstość występowania jest definiowana przez przecięcie, przy czym podprzestrzenie przecinające się tylko w wektorze zerowym są uważane za rozłączne; w tym modelu wektor zerowy $ignorowany$ .

Niech $będzie$ polem i polem rozszerzenia mi $}$$F$$\$ displaystyle Rozważ $E}$$sol$ jako $wektorową$ nad , zapewnia model przestrzeni rzutowej ${\ Displaystyle PG (2n-1, F)}$ jak wyżej. $x$ element można zapisać jednoznacznie jako ${\ Displaystyle (x, y)}$ gdzie ${\ displaystyle x, y \ in E$ . Regularny rozkład jest określony przez zbiór $przestrzeni$ rzutowych zdefiniowanych przez ${\ Displaystyle J (k) = \ {(x, kx): x \ in E \}}$ dla każdego ${\ Displaystyle k \ in E}$ wraz z ${\ Displaystyle J (\ infty) = \ {(0, y): y \ w E \}}$ .

Konstruowanie spreadów

Rozkładane zestawy

$wykorzystuje$ fakt, że mnożenie pola jest transformacją liniową względem przestrzeni wektorowej. Ponieważ jest skończonym $-wymiarowym$ rozszerzeniem $na$ , liniowa transformacja od $do$ siebie może $reprezentowana$${\ displaystyle n \ razy n}$ macierz z wpisami w ${\ displaystyle F}$ . Zbiór rozkładów to zbiór macierzy $następującymi$ × $właściwościami$ \ displaystyle n \ razy n} nad fa $\ displaystyle F}$

• ${\ displaystyle S}$ zawiera macierz zerową i macierz tożsamości
• Dla dowolnych dwóch różnych macierzy i $Displaystyle$$Y}$ w ${\ Displaystyle S}$ , ${\ Displaystyle XY}$ nie jest liczbą
• ${\ Displaystyle a, b \ in E}$ pary elementów istnieje unikalny $,$ taki, że $displaystyle aX = b}$

W skończonym przypadku, gdzie jest polem porządku dla pewnej potęgi $pierwszej$ , ostatni warunek jest równoważny zbiorowi rozrzutu zawierającemu ${\ displaystyle q ^ {n}}$$q ^$$n}}$ macierze. Biorąc pod $uwagę$ zbiór rozłożonych można utworzyć rozkładówkę jako zbiór $przestrzeni$ rzutowych zdefiniowanych przez ${\ Displaystyle J (k) = \ {(x, xM): x \ in E \}}$ dla każdego razem ${\ Displaystyle M \ in S$ } z jot $\ Displaystyle J (\ infty) = \ {(0, y): y \ w mi \}}$

Jako konkretny przykład, następujące dziewięć macierzy reprezentuje jako macierze 2 × 2 na ${\ Displaystyle GF (3)$$}$ zestaw ${\ Displaystyle AG (2,9)}$ .

${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} 0 i 0 \\ 0 i 0 \ koniec {macierzy}} \ prawo], \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {macierz}} \ prawo], \ left[{\begin{macierz}2&0\\0&2\end{macierz}}\right],\left[{\begin{macierz}0&1\\2&0\end{macierz}}\right],\left[{\ begin{macierz}1&1\\2&1\end{macierz}}\right],\left[{\begin{macierz}2&1\\2&2\end{macierz}}\right],\left[{\begin{matrix} 0&2\\1&0\end{macierz}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\1&1\end{macierz}}\right],\left[{\begin{matrix}2&2\\2&1 \end{macierz}}\prawo]}$

Inny przykład zbioru rozproszonego daje płaszczyznę Halla rzędu 9

${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} 0 i 0 \\ 0 i 0 \ koniec {macierzy}} \ prawo], \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {macierz}} \ prawo], \ left[{\begin{macierz}2&0\\0&2\end{macierz}}\right],\left[{\begin{macierz}1&1\\1&2\end{macierz}}\right],\left[{\ begin{macierz}2&2\\2&1\end{macierz}}\right],\left[{\begin{macierz}0&1\\2&0\end{macierz}}\right],\left[{\begin{matrix} 0&2\\1&0\end{macierz}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\2&2\end{macierz}}\right],\left[{\begin{macierz}2&1\\1&1 \end{macierz}}\prawo]}$

Modyfikowanie spreadów

Jednym z powszechnych podejść do tworzenia nowych spreadów jest rozpoczęcie od zwykłego spreadu i zmodyfikowanie go w jakiś sposób. Przedstawione tutaj techniki są jednymi z bardziej elementarnych przykładów tego podejścia.

Spready 3-spacji

Można utworzyć nowe rozkładówki, zaczynając od rozkładówki i szukając zbioru przełączającego , podzbioru jego elementów, który można zastąpić alternatywnym zbiorem parami rozłącznych podprzestrzeni o odpowiednim wymiarze. W $tworzy$ regulus zestaw przełączający, poprzecznych $.$ regulus , przeciwstawnym ${\ displaystyle R}$ . Usunięcie linii regularusa w rozkładówce i zastąpienie ich przeciwnym regulusem tworzy nowy rozkład, który często nie jest izomorficzny z oryginałem. Ten proces jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego procesu zwanego wyprowadzaniem lub zastępowaniem sieci .

od $regulus,$ rozkładu i dowolny rozkład, który daje Mówiąc bardziej ogólnie, proces ten można zastosować niezależnie do dowolnego zbioru reguł w regularnym rozkładzie, uzyskując podregularny rozrzut ; wynikowa płaszczyzna translacji nazywana jest płaszczyzną podregularną. Płaszczyzny André tworzą specjalną podklasę płaszczyzn regularnych, w tym płaszczyzny Halla to najprostsze przykłady, powstające w wyniku zastąpienia pojedynczego regulusa w regularnym rozkładzie.

Skonstruowano bardziej złożone zestawy przełączające. ${\ Displaystyle (q + 3) / 2}$$_$ koncepcję łańcucha reguł regularnym mianowicie $zbiorem$ regulacje, które parami spotykają się dokładnie w 2 liniach, tak że każda linia zawarta w regulusie łańcucha jest zawarta w dokładnie dwóch odrębnych regulach łańcucha. Bruen skonstruował przykład łańcucha w regularnym rozłożeniu ${\ Displaystyle PG (3,5)}$ i pokazał, że można go zastąpić, biorąc połączenie dokładnie połowy linii z przeciwnego regulatora każdego regulatora w łańcuchu. Od tego czasu w literaturze pojawiło się wiele przykładów łańcuchów Bruena, a Heden wykazał, że każdy łańcuch Bruena można wymienić przy użyciu przeciwnych półreguli. $, że$ w regularnym $dla$ nieparzystych $_$ wiadomo istnieją Przypuszcza się, że nie istnieją żadne dodatkowe łańcuchy Bruena.

Baker i Ebert uogólnili koncepcję łańcucha na gniazdo , które jest zbiorem reguł w regularnym rozkładzie, tak że każda linia zawarta w regulusie gniazda jest zawarta w dokładnie dwóch odrębnych regulach gniazda. W przeciwieństwie do łańcucha, dwa reguli w gnieździe nie muszą spotykać się w parze linek. W przeciwieństwie do łańcuchów, gniazdo w regularnym rozkładzie nie musi być wymienialne, jednak znanych jest kilka nieskończonych rodzin wymiennych gniazd.

Spready o wyższych wymiarach

W wyższych wymiarach regularusa nie można odwrócić, ponieważ poprzeczki nie mają prawidłowego wymiaru. Istnieją analogi do reguli, zwane powierzchniami norm , które można odwrócić. Płaszczyzny André o wyższych wymiarach można uzyskać z rozkładów uzyskanych przez odwrócenie tych normalnych powierzchni, istnieją również analogi rozkładów podregularnych, które nie dają płaszczyzn André .

Techniki geometryczne

$znanych$ sposobów konstruowania rozkładów z innych obiektów geometrycznych Poniżej przedstawiono kilka dobrze przebadanych podejść do tego zagadnienia.

Stada stożków kwadratowych

P ${\ Displaystyle PG (3, q)}$ kwadratowy stożek jest zbioru linii zawierających stały punkt P ( wierzchołek ) i punkt na stożku na płaszczyźnie nieprzechodzącej $_$ P. $punkty$ stożek _ Podobnie jak w przypadku tradycyjnej geometrii przekroje stożkowe , płaszczyzna $może$ się z kwadratowym stożkiem w punkcie, stożku Stado kwadratowego stożka to zbiór $przecięcia z$ kwadratowym stożkiem to parami rozłączne stożki. Klasyczna konstrukcja stada polega na wybraniu linii $displaystyle$ która nie styka się ze stożkiem kwadratowym, i przejściu przez płaszczyzny $q}$${\ displaystyle m}$ , które nie zawierają wierzchołka stożka; takie stado nazywamy liniowym .

$jest$ pokazują, jak skonstruować rozkład ze stada kwadratowego stożka za pomocą i pokazują, że wynikowy rozkład jeśli początkowe stado jest liniowe. Znanych jest wiele nieskończonych rodzin stad stożków kwadratowych, podobnie jak liczne sporadyczne przykłady.

$stożka$ kwadratowego jest połączeniem reguł $,$ wszystkie spotykają się na ustalonej . Podobnie jak w przypadku zwykłego spreadu, każdy z tych przepisów można zastąpić swoim przeciwieństwem, aby utworzyć kilka potencjalnie nowych spreadów.

Fibracje hiperboliczne

P $q)}$$Displaystyle$ hiperboliczne jest podziałem przestrzeni na rozłączne hiperboliczne kwadryki i dwie linie rozłączne ze wszystkich kwadraciki i siebie nawzajem. Ponieważ kwadryka $hiperboliczna składa$ regularusem i jego przeciwieństwem, włóknienie hiperboliczne daje .

Wszystkie rozkłady dające płaszczyzny André , w tym rozkład regularny, można uzyskać z fibracji hiperbolicznej (konkretnie ołówkiem algebraicznym generowany przez dowolne dwa kwadraty), jak wyartykułował André. Korzystając z zastępowania gniazd, Ebert znalazł rodzinę spreadów, w których zidentyfikowano włóknienie hiperboliczne. Baker i in. podać wyraźny przykład konstrukcji włóknienia hiperbolicznego. Znacznie solidniejsze źródło włóknień hiperbolicznych zostało zidentyfikowane przez Bakera i in., gdzie autorzy opracowali zgodność między stadami stożków kwadratowych a włóknieniami hiperbolicznymi; co ciekawe, spready generowane przez stado stożka kwadratowego nie są na ogół izomorficzne z spreadami generowanymi z odpowiedniego włóknienia hiperbolicznego.

Podziały podgeometrii

$} na$ ) $^$ \ izomorficzne z ${\ Displaystyle PG$ ( ${\ Displaystyle PG (2n-1, q)}$ , gdzie każda podgeometria podziału odpowiada regulusowi nowego rozkładu.

„Klasyczne” podziały podgeometrii $generować$ Singera, ale to . Yff opublikował nieklasyczny podział podgeometrii, a mianowicie podział na 7 kopii $) {\ Displaystyle PG ($${\ Displaystyle PG (2,3)}$ , które dopuszczają grupę cykliczną permutującą płaszczyzny podrzędne. Baker i in. $,$ kilka nieskończonych rodzin partycji na podpłaszczyznach

Częściowe spready

Częściowe rozłożenie przestrzeni rzutowej $_$ parami $_$ _ stąd rozkład jest tylko częściowym rozkładem, w którym każdy punkt przestrzeni jest pokryty. Rozrzut częściowy nazywany jest całkowitym lub maksymalnym , jeśli nie zawiera go żaden większy rozkład częściowy; równoważnie nie ma ${\ displaystyle r}$ -wymiarowa podprzestrzeń rozłączna ze wszystkimi członkami rozkładu częściowego. $. styl wyświetlania q^{2}+1}$$w$ przypadku spreadów, najlepiej zbadanym przypadkiem są rozkłady częściowe linii rozkład . $q$ częściowe rozłożenie niż ${\ displaystyle q ^ {2} - {\ sqrt {q}}}$ nie może być kompletne; w rzeczywistości musi to być podzbiór unikalnego spreadu. ${ \$ że całkowite częściowe rozłożenie linii w rozmiarze co najwyżej $}$$q + {\$ wiersze nie mogą być kompletne; koniecznie znajdzie się linia, którą można dodać do częściowego rozkładu tej wielkości. przykłady całkowitych częściowych rozkładów linii w ${\ Displaystyle PG (3, q)}$ o rozmiarach ${\ Displaystyle q ^ {2} -q + ​​1}$ i ${\ Displaystyle q ^ {2} -q + 2}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle q> 2}$ .

Spready klasycznych przestrzeni polarnych

$seskwiliniowej$ klasyczne przestrzenie biegunowe są osadzone w jakiejś przestrzeni rzutowej zbiór podprzestrzeni o formie kwadratowej w przestrzeni wektorowej leżącej u podstaw rzutowej Szczególnie interesująca klasa częściowych spreadów ${\ Displaystyle PG (d, K)}$ to takie, które składają się ściśle z maksymalnych podprzestrzeni klasycznej przestrzeni biegunowej osadzonych w przestrzeni rzutowej. Takie cząstkowe rozrzuty, które obejmują wszystkie punkty przestrzeni biegunowej, nazywane są rozrzutami przestrzeni polarnej.

Z perspektywy teorii płaszczyzn translacji $)}$ przestrzeń $zbiór$ punktów to wszystkie punkty , a jego maksymalne podprzestrzenie mają wymiar ${\ displaystyle n}$ . Stąd rozpiętość symplektycznej przestrzeni biegunowej jest również rozpiętością całej przestrzeni rzutowej i może być wykorzystana, jak wspomniano powyżej, do stworzenia płaszczyzny translacji. Znanych jest kilka przykładów spreadów symplektycznych; patrz Ball i in.