Kwadryptyk Kleina
W matematyce linie trójwymiarowej przestrzeni rzutowej S można postrzegać jako punkty 5-wymiarowej przestrzeni rzutowej T . W tej przestrzeni 5 punkty reprezentujące każdą linię w S leżą na kwadryce Q , znanej jako kwadryka Kleina .
Jeśli podstawową przestrzenią wektorową S jest 4-wymiarowa przestrzeń wektorowa V , to T ma jako podstawową przestrzeń wektorową 6-wymiarowy zewnętrzny kwadrat Λ 2 V z V . Otrzymane w ten sposób współrzędne linii są znane jako współrzędne Plückera .
Te współrzędne Plückera spełniają zależność kwadratową
definiowanie Q , gdzie
są współrzędnymi linii rozpiętej przez dwa wektory u i v .
Trójwymiarową przestrzeń S można ponownie zrekonstruować z kwadratu Q : płaszczyzny zawarte w Q dzielą się na dwie klasy równoważności , gdzie płaszczyzny tej samej klasy spotykają się w punkcie, a płaszczyzny różnych klas spotykają się w linii lub w pusty zestaw. Niech te klasy będą i do . Geometria S jest pobierana w następujący sposób :
- Punkty S to płaszczyzny w C .
- Linie S są punktami Q .
- Płaszczyzny S są płaszczyznami w C '.
Fakt, że geometrie S i Q są izomorficzne, można wytłumaczyć izomorfizmem diagramów Dynkina A 3 i D 3 .
- Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Geometria rzutowa: od podstaw do zastosowań , strona 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
- Arthur Cayley (1873) „Na superliniach kwadratowej powierzchni w przestrzeni pięciowymiarowej”, Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
- Felix Klein (1870) „Zur Theorie der Linencomplexe des ersten und zweiten Grades”, Mathematische Annalen 2: 198
- Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry , tom 1, Interpretacja współrzędnych linii jako współrzędnych punktu w S 5 , strona 331, Ginn and Company .
- Warda, Richarda Samuela; Wells, Raymond O'Neil, Jr. (1991), Twistor Geometry and Field Theory , Cambridge University Press, Bibcode : 1991tgft.book.....W , ISBN 978-0-521-42268-0 .