Płaszczyzna afiniczna

W geometrii płaszczyzna afiniczna jest dwuwymiarową przestrzenią afiniczną .

Przykłady

Typowymi przykładami płaszczyzn afinicznych są

• Płaszczyzny euklidesowe , które są płaszczyznami afinicznymi nad liczbami rzeczywistymi wyposażonymi w metrykę , odległość euklidesową . Innymi słowy, płaszczyzna afiniczna nad liczbami rzeczywistymi jest płaszczyzną euklidesową, w której „zapomniano” o metryce (to znaczy nie mówi się o długościach ani o miarach kątów).
• Przestrzenie wektorowe o wymiarze drugim, w których wektor zerowy nie jest traktowany jako różny od pozostałych elementów
• Dla każdego pola lub pierścienia podziału F zbiór F ² par elementów F
• Wynik usunięcia dowolnej pojedynczej linii (i wszystkich punktów na tej linii) z dowolnej płaszczyzny rzutowej

Współrzędne i izomorfizm

Wszystkie płaszczyzny afiniczne zdefiniowane w polu są izomorficzne . Dokładniej, wybór afinicznego układu współrzędnych (lub ^, w prawdziwym przypadku, kartezjańskiego układu współrzędnych ) dla płaszczyzny afinicznej P nad polem F indukuje izomorfizm płaszczyzn afinicznych między P i F2 .

W bardziej ogólnej sytuacji, gdy płaszczyzny afiniczne nie są zdefiniowane na polu, na ogół nie będą one izomorficzne. Dwie płaszczyzny afiniczne wynikające z tej samej niedesargueskiej płaszczyzny rzutowej przez usunięcie różnych linii mogą nie być izomorficzne.

Definicje

Istnieją dwa sposoby formalnego zdefiniowania płaszczyzn afinicznych, które są równoważne płaszczyznom afinicznym nad polem. Pierwsza polega na zdefiniowaniu płaszczyzny afinicznej jako zbioru, na którym przestrzeń wektorowa o wymiarze dwa działa po prostu przechodnio . Intuicyjnie oznacza to, że płaszczyzna afiniczna jest przestrzenią wektorową o wymiarze dwa, w której „zapomniało się”, gdzie jest początek. W geometrii incydencji płaszczyzna afiniczna jest zdefiniowana jako abstrakcyjny układ punktów i prostych spełniający układ aksjomatów.

Aplikacje

W zastosowaniach matematyki często zdarzają się sytuacje, w których zamiast płaszczyzny euklidesowej używana jest płaszczyzna afiniczna bez metryki euklidesowej. Na przykład na wykresie , który można narysować na papierze i na którym wykreślono położenie cząstki w funkcji czasu, metryka euklidesowa nie jest odpowiednia do jej interpretacji, ponieważ odległości między jej punktami lub miary kątów między jego linie nie mają na ogół żadnego znaczenia fizycznego (w płaszczyźnie afinicznej osie mogą używać różnych jednostek, które nie są porównywalne, a miary również różnią się w zależności od różnych jednostek i skal).

Źródła

•   Artin, Emil (1987), „II. Geometria afiniczna i rzutowa” , Algebra geometryczna , Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
•   Blumenthal, Leonard M. (1980) [1961], „IV. Współrzędne na płaszczyźnie afinicznej”, A Modern View of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63962-2
•   Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), „II. Geometria afiniczna i rzutowa”, Linear Geometry (wyd. 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
•   Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], metryczna geometria afiniczna , Dover, ISBN 0-486-66108-3
• Yale, Paul B. (1968), „Rozdział 5 Przestrzenie afiniczne” , Geometria i symetria , Holden-Day