Małe twierdzenie Wedderburna

W matematyce małe twierdzenie Wedderburna mówi, że każda skończona dziedzina jest polem . Innymi słowy, dla pierścieni skończonych nie ma rozróżnienia na dziedziny, pierścienie podziału i ciała.

Artina – Zorna uogólnia twierdzenie na alternatywne pierścienie : każdy skończony alternatywny pierścień podziału jest polem.

Historia

Oryginalny dowód został podany przez Josepha Wedderburna w 1905 roku, który następnie udowodnił to na dwa inne sposoby. Kolejny dowód przedstawił Leonard Eugene Dickson wkrótce po oryginalnym dowodzie Wedderburna, a Dickson uznał priorytet Wedderburna. Jednak, jak zauważono w ( Parshall 1983 ), pierwszy dowód Wedderburna był błędny – miał lukę – a jego kolejne dowody pojawiły się dopiero po przeczytaniu przez niego poprawnego dowodu Dicksona. Na tej podstawie Parshall argumentuje, że Dicksonowi należy przypisać pierwszy poprawny dowód.

Uproszczona wersja dowodu została później podana przez Ernsta Witta . Dowód Witta jest naszkicowany poniżej. Alternatywnie, twierdzenie to jest konsekwencją twierdzenia Skolema-Noethera przez następujący argument. Niech $będzie$ skończoną algebrą dzielenia ze środkiem . $\ displaystyle k}$ . Niech ${\ Displaystyle [D: k] = n ^ {2}}$ i ${\ displaystyle q}$ oznaczają liczność ${\ displaystyle k}$ . $_$ maksymalne $;$ ma _ więc są izomorficzne, a zatem są sprzężone przez Skolem – Noether. Ale grupa skończona (w naszym przypadku grupa multiplikatywna $być$ sumą koniugatów odpowiedniej podgrupy; stąd ${\ displaystyle n = 1}$ .

Późniejszy dowód „ teorii grup ” przedstawił Ted Kaczyński w 1964 roku. Dowód ten, pierwsza opublikowana praca matematyczna Kaczyńskiego, był krótką, dwustronicową notatką, która również potwierdzała wcześniejsze dowody historyczne.

Związek z grupą Brauera ciała skończonego

Twierdzenie jest zasadniczo równoważne z powiedzeniem, że grupa Brauera pola skończonego jest trywialna. W rzeczywistości ta charakterystyka natychmiast daje dowód twierdzenia w następujący sposób: niech k będzie ciałem skończonym. Ponieważ iloraz Herbranda znika przez skończoność, ${\ Displaystyle \ operatorname {Br} (k) = H ^ {2} (k ^ {\ tekst {al}} / k)}$ pokrywa się z ${\ Displaystyle H ^ {1} (k ^ {\ tekst {al}}/k)}$ , co z kolei znika przez Hilberta 90 .

Dowód

Niech A będzie dziedziną skończoną. Dla każdego niezerowego x w A , dwie mapy

${\ Displaystyle a \ mapsto ax, a \ mapsto xa: A \ do A}$

są iniekcyjne przez właściwość anulowania , a zatem surjektywne przez liczenie. Z elementarnej teorii grup wynika, że ​​niezerowe elementy $tworzą$ podlegającą mnożeniu. Zatem jest $skośnym$ . _

Aby udowodnić, że każde skończone pole skośne jest polem, stosujemy silną indukcję ze względu na rozmiar pola skośnego. Zatem niech $polem$ skośnym i załóżmy, że wszystkie pola skośne, które są odpowiednimi podzbiorami, $polami$ . Ponieważ środek jest polem, jest przestrzenią wektorową nad ${\ Displaystyle Z (A)$$Z (A)$$Z$$($ Displaystyle o skończonym wymiarze ${\ displaystyle n}$ . Naszym celem jest wtedy pokazanie . ${\ displaystyle n = 1}$ . Jeśli jest rzędu $}$$\ Displaystyle Z$$displaystyle {q} ^ {n}}$ , to ma porządek $\$ . Zauważ, że ponieważ zawiera różne elementy ${\ Displaystyle Z (A)$$}$ i ${\ Displaystyle 1}$ , ${\ Displaystyle q> 1}$ . Dla każdego $z$$.$ który nie jest w środku, centralizator x $jest$ displaystyle $x}$ polem skośnym $można$ zatem pole, zgodnie z hipotezą indukcyjną, i ponieważ jako przestrzeń wektorową nad $Displaystyle Z (A)}$$\$ i można postrzegać jako przestrzeń wektorową nad $\ Displaystyle {Z} _ {x}} Z x {\$ Displaystyle { Z}} ${\ Displaystyle {Z}} _ {x}}$$displaystyle$ porządek gdzie $} ^ {d}}$${\ displaystyle {$ dzieli i jest mniejszy niż $n}$ . Oglądanie ${\ Displaystyle {Z (A)} ^ {*}}$ , ${\ Displaystyle A ^ {*}}$ i ${\ Displaystyle {Z} _ {x} ^ {*}}$ jako grupy pod mnożenia możemy napisać równanie klasowe

${\ Displaystyle q ^ {n} -1 = q-1 + \ suma {q ^ {n} -1 \ ponad q ^ {d} -1}}$

gdzie suma jest przejmowana przez klasy koniugacji nie zawarte w , a są $Displaystyle$ tak, że dla każdej klasy koniugacji ${Z (A)} ^ {*}}$ kolejność dla dowolnego $q$ klasie jest $Displaystyle {$$^ {d} -1$ } ${\ displaystyle {q} ^ {n} -1}$ i ${\ Displaystyle q ^ {d} -1}$ oba dopuszczają faktoryzację wielomianów w kategoriach wielomianów cyklotomicznych

${\ Displaystyle \ Phi _ {f} (q).}$

W tożsamościach wielomianowych

${\ Displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {m | n} \ Phi _ {m} (x)}$ i ${\ Displaystyle x ^ {d} -1 = \ prod _ {m | d} \ Phi _ {m} (x)}$ ,

ustawiamy ${\ displaystyle x = q}$ . Ponieważ każdy $displaystyle$ właściwym dzielnikiem , n $n}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (q)}$ dzieli zarówno ${\ Displaystyle {q} ^ {n} -1}$ i każdy ${\ Displaystyle {q^{n}-1 \ponad q^{d}-1}}$ ,

Φ $1$$-1}$ - {

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | \ równoważnik q-1.}$

Aby zobaczyć, że to zmusza do bycia , pokażemy, że $}$$\ displaystyle n$

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1}$

dla ${\ displaystyle n> 1}$ przy użyciu faktoryzacji liczb zespolonych. W tożsamości wielomianowej

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod (x- \ zeta),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ zeta}$ biegnie przez prymitywne $na$ jedności, ustaw ${\ Displaystyle x}$ q $\ Displaystyle q},$ a następnie weź wartości bezwzględne ζ {\ Displaystyle \ zeta}

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | = \ prod | q- \ zeta |.}$

Dla ${\ displaystyle n> 1}$ widzimy, że dla każdego prymitywu $-tego$ jedności ${\ displaystyle \ zeta}$ ,

${\ Displaystyle | q- \ zeta |>| q-1 |}$

$ze$$i$ położenie na $.$ zespolonej _ Zatem

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1.}$

Notatki

• Parshall, KH (1983). „W pogoni za twierdzeniem algebry o dzieleniu skończonym i nie tylko: Joseph HM Wedderburn, Leonard Dickson i Oswald Veblen”. Archiwa Międzynarodowej Historii Nauki . 33 : 274–99.
•   Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs o pierścieniach nieprzemiennych . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 131 (wyd. 2). Skoczek. ISBN 0-387-95183-0 .

Linki zewnętrzne

• Dowód twierdzenia Wedderburna w Planet Math
• Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38