Norma asymetryczna

W matematyce asymetryczna norma w przestrzeni wektorowej jest uogólnieniem pojęcia normy .

Definicja

Norma asymetryczna w rzeczywistej przestrzeni $}$ jest funkcją $displaystyle$ \

• Subaddytywność , czyli nierówność trójkąta ${\ Displaystyle p (x + y) \ równoważnik p (x) + p (y) {\ tekst {dla wszystkich}} x, y \ w X.}$ p
• Nieujemna jednorodność : ${\ Displaystyle p (rx) = rp (x) {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w X}$ i każdy nieujemny rzeczywisty liczba ${\ displaystyle r \ geq 0.}$
• Pozytywna określoność : ${\ Displaystyle p (x)> 0 {\ tekst {chyba że}} x = 0}$

Normy asymetryczne różnią się od norm tym, że nie muszą spełniać równości ${\ Displaystyle p (-x) = p (x).}$

Jeśli warunek pozytywnej określoności zostanie pominięty, $asymetryczną$ jest seminormą . Słabszym warunkiem niż pozytywna określoność jest brak degeneracji : że dla co ${\ Displaystyle$ jednej z dwóch liczb $p (x$ i ${\ displaystyle p (-x)}$ nie jest zerem.

Przykłady

Na linii rzeczywistej funkcja $Displaystyle$ przez $\ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle p (x) = {\ rozpocząć {przypadki} | x |, & x \ równoważnik 0; \\ 2 | x |, & x \ geq 0; \ koniec {przypadków}}}$$

jest normą asymetryczną, ale nie jest normą.

W rzeczywistej przestrzeni $pochodzenie$ funkcjonał Minkowskiego $.$ wypukłego $,$ zawiera

$${\ Displaystyle p_ {B} (x) = \ inf \ lewo \ {r \ geq 0: x \ w rB \ prawo \} \,}$$

dla $in X}$$\ geq 0} rB = X,}$ Funkcjonał ten jest asymetryczną seminormą, jeśli jest zbiorem absorbującym, co oznacza, że $bigcup$ i zapewnia, że ${\ Displaystyle p (x)}$ jest skończony dla każdego ${\ displaystyle x \ w X.}$

Zgodność między asymetrycznymi seminormami i wypukłymi podzbiorami przestrzeni dualnej

Jeśli $wypukłym$ zbiorem zawierającym początek, to na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ można zdefiniować asymetryczną $}$ displaystyle według wzoru

$${\ Displaystyle p (x) = \ max _ {\ varphi \ w B ^ {*}} \ langle \ varphi, x \ rangle.}$$

$\pm 1),}$ jeśli jest kwadratem z wierzchołkami $1$$Displaystyle (\$ wtedy ${\ displaystyle p}$ jest normą dla taksówek ${\ Displaystyle x = \ lewo (x_ {0}, x_ {1} \ prawo) \ mapsto \ lewo | x_ {0} \ prawo | + \ lewo | x_ {1} \ prawo |.} Różne$ zestawy wypukłe dają różne półnormy , a każdą asymetryczną półnormę na można uzyskać z pewnego zbioru wypukłego, zwanego jego $kulą$ jednostce . Dlatego asymetryczne półnormy są w relacji jeden do jednego ze zbiorami wypukłymi, które zawierają początek. Półnormą jest ${\ displaystyle p}$

• dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera początek w swoim topologicznym wnętrzu , ${\ displaystyle B ^ {*}}$
• zdegenerować się wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ zawarty w liniowej podprzestrzeni o wymiarze mniejszym niż $displaystyle n,}$ i
• symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle B ^ {*} = - B ^ {*}.}$

Bardziej ogólnie, jeśli jest $skończenie$ wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową i jest zwartym wypukłym podzbiorem przestrzeni podwójnej $^ {*} \ subseteq X ^ {*}}$${\ Displaystyle X ^ {*}}$ , który zawiera pochodzenie, a następnie ${\ Displaystyle p (x) = \ max _ {\ varphi \ w B ^ {* }}\varphi (x)}$ jest asymetryczną seminormą na ${\ Displaystyle X.}$

Zobacz też

• Rozmaitość Finslera - rozmaitość gładka wyposażona w funkcjonał Minkowskiego w każdej przestrzeni stycznej Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• funkcjonał Minkowskiego

•    Cobzaş, S. (2006). „Operatory kompaktowe na przestrzeniach z normą asymetryczną”. Stadnina. Uniw. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87. ISSN 0252-1938 . MR 2314639 .
•   S. Cobzas, Analiza funkcjonalna w asymetrycznych przestrzeniach znormalizowanych , Frontiers in Mathematics, Basel: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6 .