Problem z Yamabe

Problem Yamabe odnosi się do przypuszczenia w dziedzinie matematyki geometrii różniczkowej , które zostało rozwiązane w latach 80. Jest to stwierdzenie o skalarnej krzywiźnie rozmaitości Riemanna :

Niech $(M, g)$ będzie zamkniętą gładką rozmaitością Riemanna. Wtedy istnieje dodatnia i gładka funkcja $f$ na $M$ taka, że riemannowska metryka $fg$ ma stałą krzywiznę skalarną.

Obliczając wzór na to, jak skalarna krzywizna $fg$ odnosi się do krzywizny $g$ , to stwierdzenie można przeformułować w następującej formie:

Niech $(M, g)$ będzie zamkniętą gładką rozmaitością Riemanna. Wtedy istnieje dodatnia i gładka funkcja $φ$ na $M$ i taka liczba $c$ , że

${\ Displaystyle {\ Frac {4 (n-1)}} {n- 2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}$

Tutaj $n$ oznacza wymiar $M$ , $R g$ oznacza krzywiznę skalarną $g$ , a $∆ g$ oznacza operatora Laplace'a-Beltramiego $g$ .

Matematyk Hidehiko Yamabe w artykule Yamabe (1960) podał powyższe twierdzenia jako twierdzenia i przedstawił dowód; jednakże Trudinger (1968) odkrył błąd w swoim dowodzie. Problem zrozumienia, czy powyższe stwierdzenia są prawdziwe, czy fałszywe, stał się znany jako problem Yamabe. Połączona praca Yamabe, Trudingera, Thierry'ego Aubina i Richarda Schoena dostarczyła pozytywnego rozwiązania problemu w 1984 roku.

Obecnie jest uważany za klasyczny problem w analizie geometrycznej , którego dowód wymaga nowych metod w dziedzinie geometrii różniczkowej i równań różniczkowych cząstkowych . Decydującym punktem w ostatecznym rozwiązaniu problemu przez Schoena było zastosowanie twierdzenia ogólnej teorii względności o energii dodatniej , które jest matematycznym twierdzeniem czysto różniczkowo-geometrycznym, udowodnionym po raz pierwszy (w warunkach prowizorycznych) w 1979 r. przez Schoena i Shing-Tung Yau .

Nowsze prace Simona Brendle'a , Marcusa Khuri, Fernando Codá Marquesa i Schoena dotyczyły zbioru wszystkich dodatnich i gładkich funkcji $f$ takich, że dla danej rozmaitości riemannowskiej $(M, g)$ metryka $fg$ ma stała krzywizna skalarna. Ponadto problem Yamabe postawiony w podobnych ustawieniach, na przykład dla kompletnych niezwartych rozmaitości Riemanna, nie jest jeszcze w pełni poznany.

Problem Yamabe w szczególnych przypadkach

Tutaj odnosimy się do „rozwiązania problemu Yamabe” na rozmaitości $jako$ metryki riemannowskiej $g$ na $M$ dodatnia gładka funkcja ${\ Displaystyle \ varphi: M \ do \ mathbb {R}}$ z ${\ displaystyle g = \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}.}$

Na zamkniętej rozmaitości Einsteina

Niech $_$ _ $g$ dodatnią funkcję gładką $\ overline {g}}}$ Displaystyle jest dowolnym elementem gładkiej konforemnej klasy ${\ Displaystyle {\ overline {g}}.}$ Pokazuje standardowe obliczenie

{\ Displaystyle {\ overline {R}} _ {ij} - {\ Frac {1} {n}} {\ overline {R}} {\ overline {g}} _ {ij} = R_ {ij} - { \frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.}

φ ${\ Displaystyle \ textstyle \ varphi (\ operatorname {Ric} - {\ Frac {1} {n}$ $sol$ } }

{\ Displaystyle \ varphi \ lewo \ langle {\ overline {\ nazwa operatora {Ric}}} - {\ Frac {1} {n}} {\ overline {R}}} {\ overline {g}}, \ nazwa operatora {Ric } -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big | }_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\nazwa_operatora {Ric} ,\nazwa_operatora {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}- {\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Duży)}.}

Jeśli zakłada się $,$ Einstein, to lewa strona znika. Jeśli $się,$ że jest zamknięty, to można wykonać całkowanie przez części, przypominając tożsamość Bianchi $Displaystyle \ textstyle \ operatorname {div} \ operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$ zobaczyć

{\ Displaystyle \ int _ {M} \ varphi {\ duży |} \ nazwa operatora {Ric} - {\ Frac {1} {n}} Rg {\ duży |} ^ {2} \, d \ mu _ {g }=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R, \nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}

Jeśli $g$ ma stałą krzywiznę skalarną, to prawa strona znika. Wynikające z tego zniknięcie lewej strony dowodzi następującego faktu, za sprawą Obaty (1971):

Każde rozwiązanie problemu Yamabe na zamkniętej rozmaitości Einsteina jest Einsteinem.

Następnie Obata udowodnił, że z wyjątkiem przypadku standardowej kuli z jej zwykłą metryką krzywizny o stałym przekroju, jedyne metryki o stałej krzywiźnie skalarnej w klasie konforemnej metryki Einsteina (na rozmaitości zamkniętej) są stałe wielokrotności podanej metryki. Dowód przebiega przez wykazanie, że gradient konforemnego czynnika jest w rzeczywistości konforemnym polem zabijania. Jeśli współczynnik konformalny nie jest stały, podążanie za liniami przepływu tego pola gradientu, zaczynając od minimum współczynnika konforemnego, pozwala wykazać, że rozmaitość jest konforemnie związana z cylindrem ${\ Displaystyle S ^ {n-1} \ razy \ mathbb {R}}$ , a zatem ma zanikającą krzywiznę Weyla.

Niekompaktowa obudowa

Ściśle powiązanym pytaniem jest tak zwany „niezwarty problem Yamabe”, który pyta: Czy to prawda, że na każdej gładkiej kompletnej rozmaitości Riemanna $(M, g)$ , która nie jest zwarta, istnieje metryka zgodna z g , ma stałą krzywiznę skalarną i jest również zupełny? Odpowiedź brzmi nie, z powodu kontrprzykładów podanych przez Jin (1988) . Znane są różne dodatkowe kryteria, na podstawie których można wykazać istnienie rozwiązania problemu Yamabe dla rozmaitości niezwartej (na przykład Aviles i McOwen (1988) ); jednak uzyskanie pełnego zrozumienia, kiedy problem można rozwiązać w przypadku niezwartym, pozostaje tematem badań.

Zobacz też

Artykuły badawcze

Aubin, Thierry (1976), „Equations différentielles non linéaires et problemlème de Yamabe dotyczy courbure scalaire”, J. Math. Pures Appl. , 55 : 269–296
Aviles, P.; McOwen, RC (1988), „Odkształcenie konformalne do stałej ujemnej krzywizny skalarnej na niezwartych rozmaitościach riemannowskich”, J. Differ. Geom. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR 0925121
Jin, Zhi Ren (1988), „Kontrprzykład do problemu Yamabe dla kompletnych rozmaitości niezwartych”, Równania różniczkowe cząstkowe (Tianjin, 1986) , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1306, Berlin: Springer, s. 93–101, doi : 10.1007/BFb0082927 , MR 1032773
Lee, John M.; Parker, Thomas H. (1987), „Problem Yamabe” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 17 : 37–81, doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5 .
Obata, Morio (1971), „Przypuszczenia dotyczące konforemnych przekształceń rozmaitości Riemanna”, Journal of Differential Geometry , 6 : 247–258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR 0303464
Schoen, Richard (1984), „Odkształcenie konformalne metryki riemannowskiej do stałej krzywizny skalarnej”, J. Differ. Geom. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
Trudinger, Neil S. (1968), „Uwagi dotyczące konformalnej deformacji struktur riemannowskich na zwartych rozmaitościach” , Ann. Norma szkolna. Pić małymi łykami. Piza (3) , 22 : 265–274, MR 0240748
Yamabe, Hidehiko (1960), „O deformacji struktur riemannowskich na rozmaitościach zwartych” , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN 0030-6126 , MR 0125546

Podręczniki

Aubin, Thierry. Niektóre problemy nieliniowe w geometrii riemannowskiej. Monografie Springera z matematyki. Springer-Verlag, Berlin, 1998. xviii + 395 s. ISBN 3-540-60752-8
Schoen, R.; Yau, S.-T. Wykłady z geometrii różniczkowej. Notatki z wykładów przygotowane przez Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong i Yi Chao Xu. Przetłumaczone z chińskiego przez Ding i SY Cheng. Z przedmową przetłumaczoną z chińskiego przez Kaising Tso. Materiały konferencyjne i notatki z wykładów z geometrii i topologii, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 s. ISBN 1-57146-012-8
Struwe, Michał. Metody wariacyjne. Zastosowania do nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych i układów hamiltonowskich. Czwarta edycja. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Seria nowoczesnych ankiet z matematyki [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych. 3. seria. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 34. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xx+302 s. ISBN 978-3-540-74012-4