Przepływ Yamabe
W geometrii różniczkowej przepływ Yamabe jest wewnętrznym przepływem geometrycznym — procesem, który deformuje metrykę rozmaitości Riemanna . Po raz pierwszy wprowadzony przez Richarda S. Hamiltona , przepływ Yamabe jest przeznaczony dla rozmaitości niezwartych i jest przepływem gradientu ujemnego L 2 (znormalizowanej) całkowitej krzywizny skalarnej , ograniczonej do danej klasy konforemnej : można to interpretować jako deformację metryki riemannowskiej do konforemnej metryki o stałej krzywiźnie skalarnej, gdy ten przepływ jest zbieżny.
Przepływ Yamabe został wprowadzony w odpowiedzi na własną pracę Richarda S. Hamiltona nad przepływem Ricciego i rozwiązaniem problemu Yamabe przez Ricka Schoena na rozmaitościach dodatniego konforemnego niezmiennika Yamabe .
Wyniki główne
Stałe punkty przepływu Yamabe są metrykami stałej krzywizny skalarnej w danej klasie konforemnej. Przepływ został po raz pierwszy zbadany w latach 80. w niepublikowanych notatkach Richarda Hamiltona. Hamilton przypuszczał, że dla każdej początkowej metryki przepływ zbiega się do metryki konforemnej o stałej krzywiźnie skalarnej. Zostało to zweryfikowane przez Ruganga Ye w przypadku lokalnie konforemnie płaskiego. Później Simon Brendle udowodniono zbieżność przepływu dla wszystkich klas konforemnych i dowolnych metryk początkowych. Ograniczająca metryka stałej krzywizny skalarnej zazwyczaj nie jest już minimalizatorem Yamabe w tym kontekście. Chociaż przypadek zwarty został rozstrzygnięty, przepływ na kompletnych, niekompaktowych rozmaitościach nie jest w pełni zrozumiały i pozostaje tematem bieżących badań.