Przypuszczenie Nowikowa

Hipoteza Nowikowa jest jednym z najważniejszych nierozwiązanych problemów topologii . Jej nazwa pochodzi od Siergieja Nowikowa , który pierwotnie postawił hipotezę w 1965 roku.

Hipoteza Nowikowa dotyczy niezmienniczości homotopii pewnych wielomianów w klasach Pontriagina rozmaitości , wynikających z grupy podstawowej . Zgodnie z hipotezą Nowikowa wyższe sygnatury , które są pewnymi niezmiennikami liczbowymi rozmaitości gładkich, są niezmiennikami homotopii .

Hipoteza została udowodniona dla skończenie generowanych grup abelowych . Nie wiadomo jeszcze, czy hipoteza Nowikowa jest prawdziwa dla wszystkich grup. Nie są znane kontrprzykłady do przypuszczenia.

Precyzyjne sformułowanie przypuszczenia

Niech będzie dyskretną grupą $i$ jej przestrzenią klasyfikującą $,$ $G$ przestrzenią MacLane'a typu } dlatego unikalny aż do równoważności homotopii jako kompleks CW. Pozwalać

{\ Displaystyle f \ dwukropek M \ rightarrow BG}

być ciągłą mapą od zamkniętej zorientowanej $\$ rozmaitości do $displaystyle M}$ do ${\ displaystyle BG}$ i

{\ Displaystyle x \ w H ^ {n-4i} (BG; \ mathbb {Q}).}

Novikov rozważył wyrażenie liczbowe, znalezione przez ocenę klasy kohomologii w najwyższym wymiarze w stosunku do klasy podstawowej i znane jako wyższa sygnatura : ${\ Displaystyle [M]}$

{\ Displaystyle \ lewo \ langle f ^ {*} (x) \ kubek L_ {i} (M), [M] \ prawo \ zakres \in \mathbb {Q} }

gdzie jest wielomian Hirzebrucha $lub$ czasami (mniej opisowo) jako ${$ $i$ ${\ Displaystyle L}$ - wielomian. Dla każdego $ten$ można wyrazić w klasach Pontryagina wiązki stycznej rozmaitości. Hipoteza Nowikowa stwierdza, że wyższa sygnatura jest niezmiennikiem zorientowanego typu homotopii $jeśli$ każdej takiej mapy $każdej$ takiej klasy ${\ Displaystyle h \ dwukropek M'\ rightarrow M}$ $innymi$ słowy, jest orientacją zachowującą równoważność homotopii, wyższa sygnatura związana z ${\ displaystyle f \ circ h}$ jest równa sygnaturze związanej z ${\ displaystyle f}$ .

Związek z hipotezą Borela

Hipoteza Nowikowa jest równoważna racjonalnej iniekcji mapy składania w L-teorii . Hipoteza Borela o sztywności rozmaitości asferycznych jest równoważna izomorfizmowi mapy składania.

Davis, James F. (2000), „Rozmaite aspekty hipotezy Nowikowa” (PDF) , w: Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrzej ; Rosenberg, Jonathan (red.), Ankiety dotyczące teorii chirurgii. Tom. 1 , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , s. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3 , MR 1747536
John Milnor i James D. Stasheff , Klasy charakterystyczne, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton (1974).
Siergiej P. Nowikow , Konstrukcja algebraiczna i właściwości hermitowskich analogów k-teorii nad pierścieniami z inwolucją z punktu widzenia formalizmu hamiltonowskiego. Niektóre zastosowania topologii różniczkowej i teorii klas charakterystycznych . Izv.Akad.Nauk SSSR, t. 34, 1970 I N2, s. 253–288; II: N3, s. 475–500. Streszczenie w języku angielskim w Actes Congr. Stażysta. Matematyka, t. 2, 1970, s. 39–45.

Linki zewnętrzne