Mapa montażu

W matematyce mapy asemblera są ważnym pojęciem w topologii geometrycznej . Z homotopii mapa składania jest uniwersalnym przybliżeniem niezmiennego funktora homotopii przez teorię homologii z lewej strony. Z geometrycznego punktu widzenia mapy asemblera odpowiadają „składaniu” lokalnych danych w przestrzeni parametrów w celu uzyskania danych globalnych.

Mapy montażowe dla algebraicznej K-teorii i L-teorii odgrywają kluczową rolę w topologii wielowymiarowych rozmaitości , ponieważ ich włókna homotopii mają bezpośredni geometryczny

Homotopijno-teoretyczny punkt widzenia

Jest to klasyczny wynik, że dla dowolnej uogólnionej teorii homologii w kategorii przestrzeni topologicznych (zakładanej $} }$ homotopia równoważna zespołom CW ) istnieje takie widmo ${\ displaystyle h_ {$ To

${\ Displaystyle h_ {*} (X) \ kong \ pi _ {*} (X_ {+} \ klin E),}$

gdzie ${\ Displaystyle X_ {+}: = X \ sqcup \ {*\}}$ .

Funktor ze spacji do widm ma następujące właściwości: ${\ Displaystyle X \ mapsto X_ {+} \ klin E}$

• Jest niezmiennikiem homotopii (zachowuje równoważności homotopii). $Odzwierciedla$ to fakt, że homotopii.
• Zachowuje homotopię współkartezjańskich kwadratów. Odzwierciedla to fakt, że ma $sekwencje$ -Vietorisa , równoważną wycięcia.
• Zachowuje dowolne produkty uboczne . Odzwierciedla to aksjomat rozłącznego związku z ${\ displaystyle h_ {*}}$ .

Funktor z przestrzeni na widma spełniający te właściwości nazywa się wycinającym .

Załóżmy teraz, że $jest funktorem niezmiennym$ , niekoniecznie wycinającym. Mapa złożenia jest $}} fa {\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek$ transformacją jakiegoś funktora wycinającego ${\%} \$ do $}$$}$$_$ taki _

Jeśli oznaczymy przez $\ Displaystyle h_ {*}: = \ pi _ {*} \ circ F ^ {\$ z tego, że indukowana naturalna $} \ do \ pi _ {*} \ circ F}$ * to uniwersalna transformacja z teorii homologii do $} \ circ F}$${\ Displaystyle \ pi _ {$ * , tj. każda inna transformacja $fa {\ Displaystyle k_ {*} \ do \ pi _ {*} \ circ F}$ z jakiejś teorii homologii $\ Displaystyle k_ {*}}$ czynniki jednoznacznie poprzez transformację teorii homologii ${\ Displaystyle k_ {*} \ do h_ {*}}$ .

Mapy montażowe istnieją dla dowolnego niezmiennego funktora homotopii dzięki prostej konstrukcji teoretycznej homotopii.

Geometryczny punkt widzenia

W konsekwencji sekwencji Mayera-Vietorisa $wartość$ funktora wycinającego w przestrzeni zależy tylko od jego wartości na „ $małe$ ” podprzestrzeniach z wiedzą, jak te podprzestrzenie przecinają się. W reprezentacji cyklu powiązanej teorii homologii oznacza to, że wszystkie cykle muszą być reprezentowane przez małe cykle. Na przykład dla homologii osobliwej właściwość wycinania jest dowodzona przez podział uproszczeń , uzyskując sumy małych uproszczeń reprezentujących dowolne klasy homologii.

W tym duchu, dla pewnych funktorów niezmienniczych homotopii, które nie są wycinające, można skonstruować odpowiednią teorię wycinającą, nakładając „warunki kontrolne”, prowadzące do dziedziny topologii kontrolowanej. Na tym obrazie mapy asemblera są mapami typu „zapomnij-kontroluj”, tj. są indukowane przez zapomnienie warunków kontrolnych.

Znaczenie w topologii geometrycznej

$}$ geometrycznej głównie dla dwóch funktorów , algebraicznej $L$ -teorii i ZA $)$ , algebraiczna K-teoria przestrzeni ${\ displaystyle X}$ . $jest$ rzeczywistości włókna homotopii obu map złożenia mają bezpośrednią interpretację geometryczną, gdy zwartą rozmaitością topologiczną. Dlatego wiedzę na temat geometrii zwartych rozmaitości topologicznych można uzyskać studiując - i ${\ displaystyle L} -$$oraz$ ich odpowiednie mapy montażowe

$_ displaystyle L ^ {\%} (M) \ do L (M)}$ przypadku $-teorii$ włókno odpowiedniej $)$$displaystyle$ oceniany na zwartej rozmaitości topologicznej , jest homotopią równoważną przestrzeni struktur blokowych $M}$ . Ponadto sekwencja fibracji

${\ Displaystyle L _ {\%} (M) \ do L ^ {\%} (M) \ do L (M)}$

indukuje długą dokładną sekwencję grup homotopii, którą można utożsamić z dokładną sekwencją chirurgiczną M $\ displaystyle M}$ . Można to nazwać fundamentalnym twierdzeniem teorii chirurgii i rozwinęli je później William Browder , Siergiej Nowikow , Dennis Sullivan , CTC Wall , Frank Quinn i Andrew Ranicki .

Dla $włókno$ homotopii odpowiedniej mapy złożenia jest homotopią równoważną $przestrzeni$ na M $styl wyświetlania M}$$\$ . Fakt ten nazywany jest stabilnym sparametryzowanym twierdzeniem o kobordyzmie h , udowodnionym przez Waldhausena-Jahrena-Rognesa. Można to postrzegać jako sparametryzowaną wersję klasycznego twierdzenia, które stwierdza, że ​​​​klasy równoważności h-kobordyzmów na $\$ 1 do 1 elementom z grupy Whiteheada $styl wyświetlania \pi _{1}(M)}$${$ .