Dokładna kolejność operacji

teorii chirurgii matematycznej dokładna sekwencja operacji $narzędziem$ głównym technicznym do obliczania zbioru struktury chirurgii zwartej rozmaitości w . Zbiór struktury chirurgii zwartej -wymiarowej rozmaitości $X$ spiczastym zbiorem , który klasyfikuje ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ($$}$${\ displaystyle n}$ -wymiarowe rozmaitości w obrębie typu homotopii ${\ displaystyle X}$ .

Podstawową ideą jest to, że aby obliczyć, $wystarczy$ zrozumieć inne wyrazy w sekwencji, które zwykle są Są to z jednej strony normalne niezmienniki , które tworzą uogólnione grupy kohomologiczne , a zatem do ich obliczenia można użyć standardowych narzędzi topologii algebraicznej , przynajmniej w zasadzie. Z drugiej strony istnieją grupy L , które są zdefiniowane algebraicznie w kategoriach form kwadratowych lub w kategoriach kompleksy łańcuchowe o strukturze kwadratowej. Wiele wiadomo o tych grupach. Inną częścią sekwencji są przeszkód chirurgicznych od normalnych niezmienników do grup L. Dla tych map istnieją pewne klas charakterystycznych , które umożliwiają ich obliczenie w niektórych przypadkach. Znajomość tych trzech składowych, to znaczy: map normalnych, grup L i map przeszkód chirurgicznych, jest wystarczająca do określenia zbioru struktur (przynajmniej do problemów rozszerzenia).

W praktyce trzeba postępować indywidualnie, dla każdego rozmaitości $jest$ to unikalne zadanie, aby określić dokładną kolejność operacji, patrz kilka przykładów poniżej Należy również zauważyć, że istnieją wersje dokładnej sekwencji operacji w zależności od kategorii rozmaitości, z którymi pracujemy: rozmaitości gładkie (DIFF), PL lub topologiczne oraz od tego, czy bierzemy pod uwagę skręcanie Whiteheada , czy nie ( $lub$${\ displaystyle h}$ ).

Oryginalna praca Browdera i Novikova z 1962 r . Na temat istnienia i wyjątkowości rozmaitości w ramach typu homotopii prosto połączonej została przeformułowana przez Sullivana w 1966 r. Jako chirurgiczna sekwencja dokładna . W 1970 roku Wall opracował teorię chirurgii niepołączonej po prostu i chirurgię dokładną sekwencję dla rozmaitości z dowolną grupą podstawową .

Definicja

Dokładna sekwencja operacji jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ cdots \ do {\ mathcal {N}}_{\częściowy }(X\razy I)\do L_{n+1}(\pi _{1}(X))\do {\mathcal {S}}(X)\do { \mathcal {N}}(X)\do L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Gdzie:

wpisy ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ częściowe} (X \ razy I)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X)}$ są grupami abelowymi normalnych niezmienników ,

${\ mathcal {}} L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$${\ Displaystyle {\ mathcal {}} L_ {n} (\ pi _ {1} (X))}$ i ( to grupy L związane z pierścieniem grupowym ${\ Displaystyle \ mathbb {Z } [\pi _{1}(X)]}$ ,

mapy ${\ Displaystyle \ theta \ okrężnica {\ mathcal {N}} _ {\ częściowe} (X \ razy I) \ do L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ i ${\ Displaystyle \ theta \ okrężnica {\ mathcal {N}} (X) \ do L_ {n} (\ pi _ {1} (X))}$ to mapy przeszkód w chirurgii ,

strzałki ${\ Displaystyle \ częściowy \ dwukropek L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X)) \ do {\ mathcal { S}} (X)}$ i $eta \ okrężnica {\ mathcal {S}} (X) \ do {\ mathcal {N}} (X)}$ \ zostać wyjaśnione poniżej.

Wersje

Istnieją różne wersje dokładnej sekwencji operacji. Można pracować w jednej z trzech kategorii rozmaitości: różniczkowalna (gładka), PL, topologiczna. Inną możliwością jest praca z dekoracjami $displaystyle$ h $h}$ .

Wpisy

Normalne niezmienniki

Główny artykuł: Normalne niezmienniki

Mapa normalna stopnia jeden ${\ Displaystyle (f, b) \ dwukropek M \ do X}$ składa się z następujących danych: an ${\ displaystyle n}$ -wymiarowa, zamknięta rozmaitość $M}$${\ displaystyle n}$$,$ mapa , która ma stopień jeden (to znaczy ${\ Displaystyle f_ {*} ([M]) = [X]}$ ) i mapa wiązek ${\ Displaystyle b \ okrężnica TM \ oplus \ varepsilon ^ {k} \ do \ xi}$ ze stabilnej wiązki stycznej ${\ Displaystyle M}$ do jakiejś wiązki ${\ Displaystyle \ xi}$ nad ${\ Displaystyle X}$ . Dwie takie mapy są równoważne, jeśli istnieje między nimi normalny bordyzm (to znaczy bordyzm źródeł objętych odpowiednimi wiązkami danych). Klasy równoważności map normalnych pierwszego stopnia nazywane są niezmiennikami normalnymi .

$Displaystyle (id, identyfikator)}$ ten sposób normalne niezmienniki $po$ prostu zbiorem spiczastym, z punktem bazowym określonym przez . Jednak $.$ - daje grupy W rzeczywistości mamy nienaturalną bijekcję

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X) \ cong [X, G / O]}$

gdzie oznacza $definiowanie$$homotopii$ mapy , przestrzenią pętli, a uogólniona teoria kohomologii. Istnieją odpowiednie identyfikacje normalnych niezmienników z ${\ Displaystyle [X, G/PL]}$ podczas pracy z rozmaitościami PL oraz z ${\ Displaystyle [X, G / TOP]}$ podczas pracy z rozmaitościami topologicznymi.

grupy L

Główny artykuł: L-teoria

Grupy $.$ są definiowane algebraicznie w kategoriach form kwadratowych lub w kategoriach kompleksów łańcuchowych o strukturze kwadratowej Zobacz główny artykuł, aby uzyskać więcej informacji. W tym przypadku ważne będą tylko właściwości grup L opisanych poniżej.

Mapy przeszkód chirurgicznych

Główny artykuł: Niedrożność chirurgiczna

Mapa ${\ Displaystyle \ theta \ okrężnica {\ mathcal {N}} (X) \ do L_ {n} (\ pi _ {1} (X ))}$ jest w pierwszej kolejności odwzorowaniem teorii mnogości (co oznacza niekoniecznie homomorfizm) z następującą właściwością (gdy ${\ displaystyle n \ geq 5}: n ≥ 5 {\ displaystyle n \ geq 5$ }

Normalna mapa stopnia pierwszego ${\ Displaystyle (f, b) \ dwukropek M \ do X}$ jest normalnie zgodna z równoważnością homotopii wtedy i tylko wtedy, gdy obraz ${ \ Displaystyle \ theta (f, b) = 0}$ w ${\ Displaystyle L_ {n} (\ mathbb {Z} [\ pi _ {1} (X)]) }$ .

Normalne niezmienniki strzałka ${\ Displaystyle \ eta \ okrężnica {\ mathcal {S}} (X) \ do {\ mathcal {N}} (X)}$

Każda równoważność $mapę$ stopnia

Strzałka przeszkody w operacji ${\ Displaystyle \ częściowy \ dwukropek L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X)) \ do {\ matematyka {S}}(X)}$

Ta strzałka opisuje w rzeczywistości działanie grupy ${\ Displaystyle L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$ na zbiorze ${ \displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ zamiast tylko mapy. Definicja opiera się na twierdzeniu o realizacji dla elementów grup - ${\ displaystyle L},$ które brzmi następująco: L {\ displaystyle L}

Niech $M}$$Displaystyle$ będzie rozmaitością z ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (M) \ cong \ pi _ {1} (X)}$ i niech ${\ Displaystyle x \ w L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$ . Wtedy istnieje normalna mapa rozmaitości pierwszego stopnia z granicą

${\ Displaystyle (F, B) \ dwukropek (W, M, M') \ do (M \ razy I,M\razy 0,M\razy 1)}$

o następujących właściwościach:

1. ${\ Displaystyle \ teta (F, B) = x \ w L_ {n + 1} (\ pi _ {1} ( X))}$

2. ${\ Displaystyle F_ {0} \ dwukropek M \ do M \ razy 0}$ jest dyfeomorfizmem

3. ${\ Displaystyle F_ {1} \ dwukropek M '\ do M \ razy 1}$ jest równoważnością homotopii rozmaitości zamkniętych

Niech ${\ Displaystyle f \ dwukropek M \ do X}$ reprezentuje element w ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (X)}$ i niech ${\ Displaystyle x \ w L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ częściowe (f, x)}$ jest zdefiniowane jako ${\ Displaystyle f \ circ F_ {1} \ dwukropek M '\ do X}$ .

Dokładność

$,$ że zestaw struktur chirurgicznych jest tylko zbiorem punktowym i że mapa przeszkód chirurgicznych nie być homomorfizmem. Dlatego konieczne jest wyjaśnienie, co należy rozumieć, mówiąc o „dokładnej sekwencji”. Tak więc dokładna sekwencja operacji jest dokładną sekwencją w następującym sensie:

Dla normalnego niezmiennika mamy ${\ Displaystyle Z \ in {\ mathcal {N}} (X)}$${\ Displaystyle Z \ w \ operatorname {Im} (\ eta )}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ theta (z) = 0}$ . ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in {\ mathcal {S}} (X)$ } mamy ${\ Displaystyle \ eta (x_ {1}) = \ eta (x_ {2})}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle u \ in L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$ takie, że ${\ Displaystyle \ częściowe (u, x_ {1 })=x_{2}}$ . u ${\ Displaystyle u \ w L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))$ mamy ${\ Displaystyle \ częściowe (u, \ operatorname {id}) = \ operatorname {id}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle u \ w \ operatorname {Im} (\ theta)}$ .

Ponownie odwiedzone wersje

W kategorii topologicznej mapę przeszkód chirurgicznych można sprowadzić do postaci homomorfizmu. Osiąga się to poprzez umieszczenie alternatywnej struktury grupy abelowej na normalnych niezmiennikach, jak opisano tutaj . Co więcej, ciąg dokładny chirurgii można utożsamiać z ciągiem dokładnym chirurgii algebraicznej Ranickiego, który z definicji jest dokładnym ciągiem grup abelowych. $.$ struktur abelowej Należy jednak zauważyć, że do tej pory nie ma zadowalającego opisu geometrycznego tej struktury grup abelowych.

Klasyfikacja rozmaitości

Odpowiedź na pytania porządkujące teorię chirurgii można sformułować w kategoriach dokładnej kolejności operacji. W obu przypadkach odpowiedź jest podana w postaci dwustopniowej teorii przeszkody.

Kwestia istnienia. Niech $.$ kompleksem Poincarégo Jest homotopią równoważną rozmaitości wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki. Po $pierwsze$ , musi mieć redukcję wiązki wektorów swojego normalnego włóknienia Spivaka $,$ że zbiór normalnych niezmienników pusty Po drugie, musi istnieć niezmiennik normalny ${\ Displaystyle x \ in {\ mathcal {N}} (X)}$ takie, że ${\ Displaystyle \ theta (x) = 0}$ . Równoważnie mapa przeszkód chirurgicznych ${\ Displaystyle \ theta \ okrężnica {\ mathcal {N}} (X) \ rightarrow L_ {n} (\ pi _ { 1}(X))}$ trafień n $} (\ pi _ {1} (X))}$

Kwestia wyjątkowości. Niech ${\ Displaystyle f \ dwukropek M \ do X}$ i ${\ Displaystyle f'\ dwukropek M'\ do X}$ reprezentują dwa elementy w zbiorze struktury chirurgii ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (X)}$ . Na pytanie, czy reprezentują one ten sam element, można odpowiedzieć w dwóch etapach w następujący sposób. Po pierwsze, musi istnieć kobordyzm normalny między mapami normalnymi stopnia pierwszego indukowanymi przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} f}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} f '}$ oznacza to ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} \ eta (f) = \ eta (f ')}$ w ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X)}$ . Oznacz kobordyzm normalny ${\ Displaystyle (F, B) \ dwukropek (W, M, M ') \ do (X \ razy I, X \ razy 0, X \ razy 1)}$ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} \ theta (F, B)}$$\ Displaystyle {\ mathcal {}} L_ { n+1}(\pi _{1}(X))},$ L { aby przekształcić ten normalny kobordyzm w an h-kobordyzm (lub $}$ -kobordyzm ) względem granicy znika, a następnie ${\ Displaystyle { \ mathcal {}}$ i faktycznie reprezentują ten sam element w zestaw struktur chirurgicznych .

Fibracja chirurgiczna Quinna

W swojej pracy napisanej pod kierunkiem Browdera , Frank Quinn wprowadził sekwencję włókien tak, że długa dokładna sekwencja chirurgiczna jest sekwencją indukowaną na grupach homotopii.

Przykłady

1. Sfery homotopii

To jest przykład w kategorii gładkiej, ${\ displaystyle n \ geq 5}$ .

Idea dokładnej sekwencji operacji jest implicite obecna już w oryginalnym artykule Kervaire'a i Milnora na temat grup sfer homotopii. W obecnej terminologii mamy

$mathcal {S}} ^ {DIFF} (S ^ {n}) = \ Theta ^ {n}}$

$\ mathcal {N}} ^ {DIFF} (S ^ {n}) = \ Omega _ {n} ^ {alm}}$ kobordyzm grupa prawie ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ częściowe} ^ {DIFF} (S ^ {n} \ razy I) = \ Omega _ {n + 1} ^ {alm}}$$rozmaitości$ ,

${\ Displaystyle L_ {n} (1) = \ mathbb {Z}, 0, \ mathbb {Z} _ {2}, 0}$ gdzie ${\ Displaystyle n \ równoważnik 0,1,2,3}$ mod ${\ Displaystyle 4}$$($ sobie -okresowość grup L )

Dokładna sekwencja operacji w tym przypadku jest dokładną sekwencją grup abelowych. Oprócz powyższych identyfikatorów posiadamy

${\ Displaystyle bP ^ {n + 1} = \ operatorname {ker} (\ eta \ dwukropek {\ mathcal {S}} ^ {DIFF} (S ^ {n}) \ do {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\częściowe }^{DIFF}(S^{ n}\razy I)\do L_{n+1}(1))}$

Ponieważ grupy L o nieparzystych wymiarach są trywialne, uzyskuje się następujące dokładne sekwencje:

${\ Displaystyle 0 \ do \ Theta ^ {4i} \ do \ Omega _ {4i} ^ {alm} \ do \ mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\ Displaystyle 0 \ do \ Theta ^ {4i-2} \ do \ Omega _ {4i-2} ^ {alm} \ do \ mathbb {Z} / 2 \ do bP ^ {4i-2} \ do 0}$

${\ Displaystyle 0 \ do bP ^ {2j} \ do \ Theta ^ {2j-1} \ do \ Omega _ {2j- 1}^{alm}\do 0}$

Wyniki Kervaire'a i Milnora uzyskuje się, badając środkową mapę w pierwszych dwóch sekwencjach i $do$ homotopii

2. Sfery topologiczne

Uogólnioną hipotezę Poincarégo w wymiarze $\$ sformułować jako mówiącą, że $S}} ^ {GÓRA} (S ^ {n}) = 0 }$ . Zostało to udowodnione dla każdego $przez$ Smale, Freedmana i Perelmana. Z operacji dokładna sekwencja dla n $n} }$$\ Displaystyle n \ geq 5} S$ w kategorii topologicznej widzimy to

${\ Displaystyle \ teta \ okrężnica {\ mathcal {N}} ^ {GÓRA} (S ^ {n}) \ do L_ {n} (1) }$

jest izomorfizmem. ( $)$ można to rozszerzyć na niektóre metody ad-hoc

3. Zespolone przestrzenie rzutowe w kategorii topologicznej

Złożona przestrzeń rzutowa ${\ styl wyświetlania \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$ ( $\ Displaystyle (2n)}$$rozmaitość$ topologiczna z . Ponadto wiadomo, że w przypadku ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X) = 1}$$.$ przeszkód chirurgicznych jest zawsze suriektywna Stąd mamy

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {S}} ^ {GÓRA} (\ mathbb {C } P^{n})\do {\mathcal {N}}^{GÓRA}(\mathbb {C} P^{n})\do L_{2n}(1)\do 0}$

Z pracy Sullivana można obliczyć

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mathbb {C} P. ^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/ 2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$ i stąd ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {C} P ^ {n}) \cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\ matematyka {Z} _ {2}}$

4. Rozmaitości asferyczne w kategorii topologicznej

Asferyczna $rozmaitość$ jest taką $_$${i} (X) = 0$ ) \ $Displaystyle$ dla ${\ Displaystyle i \ geq 2}$ . Stąd jedyną nietrywialną grupą homotopii jest ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Jednym ze sposobów sformułowania hipotezy Borela jest stwierdzenie, że dla takiego $X)}}$ ) ) $pi$ jest banalny i tyle

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (X) = 0}$

To przypuszczenie zostało udowodnione w wielu szczególnych przypadkach - na przykład, gdy jest π $Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ \ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ podstawowa grupa ujemnie zakrzywionej rozmaitości lub gdy jest to grupa hiperboliczna słowa lub grupa CAT (0).

Stwierdzenie jest równoznaczne z wykazaniem, że mapa przeszkód chirurgicznych po prawej stronie zestawu struktur chirurgicznych jest iniekcyjna, a mapa przeszkód chirurgicznych po lewej stronie zestawu struktur chirurgicznych jest suriektywna. Większość dowodów powyższych wyników jest przeprowadzana poprzez studiowanie tych map lub poprzez studiowanie map montażowych , z którymi można je zidentyfikować. Zobacz więcej szczegółów w Hipoteza Borela , Hipoteza Farrella-Jonesa .

•   Browder, William (1972), Chirurgia na prosto połączonych rozmaitościach , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR 0358813
• Lück, Wolfgang (2002), Podstawowe wprowadzenie do teorii chirurgii (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, of the school „High-wymiarowa teoria rozmaitości” w Trieście, maj/czerwiec 2001, Abdus Salam International Center for Theoretical Fizyka, Triest 1-224
• Ranicki, Andrew (1992), Algebraiczna teoria L i rozmaitości topologiczne (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 102, Cambridge University Press
•    Ranicki, Andrew (2002), Chirurgia algebraiczna i geometryczna (PDF) , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0 , MR 2061749
•    Wall, CTC (1999), Chirurgia na zwartych rozmaitościach , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 69 (wyd. 2), Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0942-6 , MR 1687388