Zestaw struktury chirurgii

W matematyce zbiór struktur chirurgicznych jest podstawowym obiektem w badaniu $rozmaitości,$ homotopią równoważną zamkniętej X. to koncepcja, która pomaga odpowiedzieć na pytanie, czy dwie rozmaitości równoważne homotopii są dyfeomorficzne (lub PL-homeomorficzne lub homeomorficzne ). Istnieją różne wersje zestawu struktur w zależności od kategorii (DIFF, PL lub TOP) i czy skręcanie Whiteheada jest brane pod uwagę, czy nie.

Definicja

Niech X będzie zamkniętą gładką (lub PL- lub topologiczną) rozmaitością o wymiarze n. Nazywamy dwie równoważności homotopii $f_ {i}: M_ {$ zamkniętych rozmaitości wymiaru do M $}$ $} \$ do X ${\ Displaystyle X}$ ( ${\ Displaystyle i = 0,1}$ ) odpowiednik, jeśli istnieje kobordyzm ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} (W; M_ {0}, M_ {1})}$ wraz z mapą ${\ Displaystyle (F; f_ {0}, f_ {1}): (W; M_ {0}, M_ {1}) \ do (X \ razy [0,1]; X \ razy \ {0 \} ,$ $,$ $razy \$ { $1 \}}}$ takie i $równoważnościami$ homotopii Zbiór struktur jest zbiorem klas równoważności homotopii równoważności $X$ $X$ z zamkniętych rozmaitości o wymiarze n do X. Ten zestaw ma preferowany punkt bazowy: ${\ displaystyle id: X \ do X}$ .

Istnieje również wersja uwzględniająca skręcanie Whiteheada. Jeśli w powyższej definicji wymagamy, aby równoważności homotopii $,$ $prostymi$ równoważnościami to otrzymujemy prosty zbiór struktur ${ \ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ .

Uwagi

Zauważ, że $w$ definicji $(X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal$ odp. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ to odpowiednio h-kobordyzm . s -kobordyzm . Korzystając z twierdzenia o s-kobordyzmie, otrzymujemy kolejny opis prostego zbioru struktur ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ , pod warunkiem, że n> 4: Prosty zestaw struktur ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s } (X)}$ jest zbiorem klas równoważności równoważności homotopii ${\ Displaystyle f: M \ do X}$ $zamkniętych$ rozmaitości wymiaru n do X w odniesieniu do następującej relacji równoważności . Dwie równoważności homotopii ${\ Displaystyle f_ {i}: M_ {i} \ do X}$ (i = 0,1) są równoważne, jeśli istnieje dyfeomorfizm (lub homeomorfizm PL lub homeomorfizm) ${\ displaystyle g : M_ {0} \ do M_ {1}}$ takie, że jest homotopijne z $\ displaystyle$ $f_ {1} \ circ g}$ .

Dopóki mamy do czynienia z rozmaitościami różniczkowymi, generalnie nie ma kanonicznej struktury grupowej na ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ . Jeśli mamy do $)$ topologicznymi, możliwe jest wyposażenie preferowanej grupy abelowej (patrz rozdział 18 w Ranickiego ) .

Zauważ, że rozmaitość M jest dyfeomorficzna (lub PL -homeomorficzna lub homeomorficzna) z rozmaitością zamkniętą X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje prosta równoważność homotopii, której klasa równoważności to ${\ Displaystyle \ phi: M \ do X}$ punkt bazowy w ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ . Konieczna jest pewna ostrożność, ponieważ może się zdarzyć, że dana prosta równoważność homotopii ${\ Displaystyle \ phi: M \ do X}$ nie jest homotopijny z dyfeomorfizmem (lub PL-homeomorfizmem lub homeomorfizmem), chociaż M i X są dyfeomorficzne (lub PL-homeomorficzne lub homeomorficzne). Dlatego konieczne jest również zbadanie działania grupy klas homotopii prostych samorównoważności X na ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (X)$ }

Podstawowym narzędziem do obliczania zbioru struktur prostych jest chirurgiczna sekwencja dokładna .

Przykłady

$topologiczne$ : Uogólniona hipoteza Poincarégo kategorii topologicznej mówi, że punktu bazowego Przypuszczenie to zostało udowodnione przez Smale'a (n > 4), Freedmana (n = 4) i Perelmana (n = 3).

Sfery egzotyczne: Klasyfikacja egzotycznych sfer przez Kervaire'a i Milnora daje ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {s} (S ^ {n })=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)}$ dla n > 4 (kategoria gładka).

Browder, William (1972), Chirurgia na prosto połączonych rozmaitościach , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR 0358813
Ranicki, Andrew (2002), Chirurgia algebraiczna i geometryczna , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0 , MR 2061749
Wall, CTC (1999), Chirurgia na zwartych rozmaitościach , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 69 (wyd. 2), Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0942-6 , MR 1687388
Ranicki, Andrew (1992), Algebraiczna teoria L i rozmaitości topologiczne (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics 102, CUP, ISBN 0-521-42024-5 , MR 1211640

Linki zewnętrzne