Normalny niezmiennik

W matematyce mapa normalnych jest koncepcją w topologii geometrycznej Williama Browdera , która ma fundamentalne znaczenie w teorii chirurgii . Biorąc pod uwagę kompleks Poincarégo X (bardziej geometrycznie przestrzeń Poincarégo ), normalna mapa na X nadaje przestrzeni, z grubsza mówiąc, część globalnej struktury zamkniętej rozmaitości opartej na teorii homotopii. W szczególności X ma dobrego kandydata na stabilną wiązkę normalną i Thoma zwiń mapę, co jest równoważne z mapą od rozmaitości M do X pasującą do podstawowych klas i zachowującą normalne informacje o pakiecie. Jeśli wymiar X wynosi 5, wówczas istnieje tylko przeszkoda w chirurgii topologii algebraicznej, ponieważ ściana CTC do $X$ jest w homotopią równoważną zamkniętej rozmaitości. Mapy normalnych mają również zastosowanie do badania wyjątkowości struktur rozmaitości w ramach typu homotopii, którego pionierem był Siergiej Nowikow .

kobordyzmu map normalnych na X nazywane są niezmiennikami normalnymi . W zależności od kategorii rozmaitości (różniczkowalna, odcinkowo-liniowa lub topologiczna) istnieją podobnie zdefiniowane, ale nierównoważne, koncepcje map normalnych i niezmienników normalnych.

Możliwe jest wykonanie operacji na mapach normalnych, czyli operacji na rozmaitości domeny i zachowanie mapy. Chirurgia na mapach normalnych pozwala na systematyczne zabijanie elementów we względnych grupach homotopii poprzez przedstawianie ich jako osadzeń z trywialną wiązką normalną .

Definicja

Istnieją dwie równoważne definicje map normalnych, w zależności od tego, czy używa się wiązek normalnych, czy wiązek stycznych rozmaitości. Stąd możliwe jest przełączanie się między definicjami, co okazuje się dość wygodne.

1. Biorąc pod uwagę kompleks Poincarégo X (tj. kompleks CW , którego kompleks łańcuchów komórkowych spełnia dualność Poincarégo ) o wymiarze formalnym , mapa normalna na X składa się z ${\ displaystyle n}$

• mapa ${\ displaystyle f \ dwukropek M \ do X}$ z jakiejś zamkniętej n -wymiarowej rozmaitości M ,
• pakiet ${\ displaystyle \ xi}$ na X i stabilna mapa ze stabilnego normalnego pakietu ${\ displaystyle \ nu _ {M}}$ z ${\ displaystyle M}$ do ξ {\ displaystyle \ xi } i ${\ displaystyle \ xi}$
• zazwyczaj normalna mapa powinna mieć stopień jeden . Oznacza ${\ Displaystyle f_ {*} ([M]) = [X] \ w H_ {n} (X)}$ że podstawowa klasa $)$ być odwzorowana $pod$ klasą $]$ : .

2. Biorąc pod uwagę kompleks Poincarégo (tj. kompleks CW , którego kompleks łańcuchów komórkowych spełnia dualność Poincarégo ) $displaystyle$ formalnego , normalną mapę na $X}$$X {\ displaystyle X}$ (w odniesieniu do wiązka styczna) składa się z

• mapa ${\ Displaystyle f \ okrężnica M \ do X}$ z jakiegoś zamkniętego rozmaitości -wymiarowej ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M$ }
• pakiet $_ {M} \ oplus \ varepsilon ^ {$ ⊕ ε k $k$$}$ z ${\ Displaystyle M}$ do ${\ Displaystyle \ xi}$ i
• podobnie jak powyżej, wymagane jest, aby podstawowa klasa z $została$ odwzorowana pod $podstawową$ klasą $]$ : $X] \ w H_ {n} (X)}$ .

Dwie mapy normalności są równoważne, jeśli istnieje między nimi normalny bordyzm.

Rola w teorii chirurgii

Operacja na mapach a operacja na mapach normalnych

Rozważ pytanie:

Czy kompleks Poincarégo X o formalnym wymiarze n homotopii jest równoważny zamkniętej n -rozmaitości?

$do$ pytania byłoby: zacznij od jakiejś mapy od jakiejś rozmaitości $i$ spróbuj wykonać na niej operację, aby M $}$ zrobić z tego równoważność homotopii. Zwróć uwagę, że: Ponieważ nasza mapa początkowa została wybrana arbitralnie, a chirurgia zawsze tworzy mapy kobordancyjne, procedura ta musi zostać wykonana (w najgorszym przypadku) dla wszystkich klas kobordyzmu map ${\ Displaystyle M \ do X}$ . Ten rodzaj teorii kobordyzmu jest teorią homologii, której współczynniki zostały obliczone przez Thoma : dlatego klasy kobordyzmu takich map są obliczalne przynajmniej teoretycznie dla $przestrzeni$ .

Okazuje się jednak, że bardzo trudno jest rozstrzygnąć, czy możliwe jest wykonanie z mapy równoważności homotopii za pomocą operacji, podczas gdy to samo pytanie jest znacznie łatwiejsze, gdy mapa ma dodatkową strukturę mapy normalnej. Dlatego w klasycznym chirurgicznym podejściu do naszego pytania zaczyna się $wykonuje$ mapy normalnych (załóżmy, że istnieje) i Ma to kilka zalet:

• $,$ że ​​​​homologia dzieli ${\ Displaystyle K_ {*} (M) = ker (f_ {*} \ dwukropek H_ {*} (M) \ do H_ {*} (X)) }$$suma$ homologii i tak zwanego jądra chirurgicznego , czyli ${\ Displaystyle H_ {*} (M) = K_ {*} (M) \ oplus H_ {*} (X)}$ . (Tutaj zakładamy, że $.$ grup podstawowych i używamy homologii z lokalnymi współczynnikami w ${\ Displaystyle Z [\ pi _ {1} (X)]}$ )

Zgodnie z twierdzeniem Whiteheada mapa jest równoważnością homotopii wtedy i tylko wtedy, gdy jądro operacji wynosi $zero$

• $homotopii względna grupa$ że element (względna grupa $f }$$reprezentowane$ przez osadzenie ogólnie zerową homotopią S ${\ Displaystyle f \ circ \ phi: S ^ {p} \ do X}$ . Wtedy może być reprezentowany przez osadzenie (lub zanurzenie), którego normalna wiązka jest stabilnie trywialna. Ta obserwacja jest ważna, ponieważ operacja jest możliwa tylko w przypadku osadzania z trywialną normalną wiązką. $jest homotopijna$$względem$ , jeśli $,$ niż połowa wymiaru mapa osadzania przez twierdzenie Whitneya _ . Z drugiej strony, każdy stabilnie trywialny normalny pakiet takiego osadzania jest automatycznie trywialny, ponieważ ${\ Displaystyle \ pi _ {p} (BO, BO_ {k}) = 0}$ dla ${\ displaystyle k> p}$ . Dlatego operację na normalnych mapach zawsze można wykonać poniżej środkowego wymiaru. Nie dotyczy to dowolnych map.

Zauważ, że to nowe podejście powoduje konieczność sklasyfikowania klas bordyzmu map normalnych, które są niezmiennikami normalnych. W przeciwieństwie do klas kobordyzmu odwzorowań, niezmienniki normalne są teorią kohomologii . Jego współczynniki są znane w przypadku rozmaitości topologicznych. W przypadku rozmaitości gładkich współczynniki teorii są znacznie bardziej skomplikowane.

Normalne niezmienniki a zbiór struktur

Istnieją dwa powody, dla których ważne jest, aby studiować zbiór ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X)}$ . Przypomnijmy, że głównym celem teorii chirurgii jest udzielenie odpowiedzi na pytania:

1. Biorąc pod uwagę skończony kompleks Poincarégo, czy istnieje $rozmaitości$ równoważna $X}$$displaystyle$ ?

2. Biorąc pod uwagę dwie równoważności homotopii , $X$ dyfeomorfizm h $Displaystyle f_ {i} \ dwukropek M_ {i} \ rightarrow$${\ Displaystyle h \ dwukropek M_ {0} \ rightarrow M_ {1}}$ takie, że ${\ Displaystyle f_ {1} \ circ h \ simeq f_ {0}}$ ?

Zauważ, że jeśli odpowiedź na te pytania powinna być pozytywna, to warunkiem koniecznym jest, aby odpowiedź na dwa kolejne pytania była pozytywna

1.' Biorąc pod uwagę skończony kompleks Poincarégo, czy istnieje mapa normalna stopnia pierwszego $\ okrężnica M \ rightarrow X}$$)$ ?

2.' Biorąc pod uwagę dwie równoważności homotopii , $rightarrow$ istnieje kobordyzm $f_ {i} \ okrężnica M_ {i}$${\ Displaystyle (F, B) \ dwukropek (W, M_ {0}, M_ {1}) \ do (X \ razy I, X \ razy 0, X \ razy 1)} takie, że$ ∂ $\ displaystyle \ częściowe _ {0} F = f_ {0}}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1} F = f_ {1}}$ ?

To oczywiście obserwacja niemal trywialna, ale ważna, bo okazuje się, że istnieje skuteczna teoria, która odpowiada na pytanie 1”. a także skuteczna teoria, która odpowiada na pytanie 1. dostarczyła odpowiedzi na pytanie 1”. jest tak. Podobnie w przypadku pytań 2. i 2.”. Zauważ również, że możemy sformułować pytania w następujący sposób:

1.' Czy ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X) \ neq \ pusty zbiór}$ ?

2.' Czy ${\ Displaystyle f_ {0} = f_ {1}}$ w ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X)}$ ?

Dlatego studiowanie jest naprawdę pierwszym krokiem w próbie zrozumienia zestawu struktur chirurgicznych ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (X) N$$\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (X) }$ , co jest głównym celem teorii chirurgii. Chodzi o to, że $jest znacznie bardziej$ z punktu widzenia topologii algebraicznej, jak

Teoria homotopii

1.' Niech X będzie skończonym n -wymiarowym kompleksem Poincarégo. $użycie$ definicji normalnymi wiązkami Przypomnijmy, że (gładka) rozmaitość ma unikalną wiązkę styczną i unikalną stabilną wiązkę normalną. Ale skończony kompleks Poincarégo nie posiada takiej unikalnej wiązki. Posiada jednak namiastkę - unikalne w pewnym sensie włóknienie sferyczne - tzw. włóknienie normalne Spivaka. Ma to właściwość, że jeśli ${\ displaystyle X}$ jest homotopią równoważną rozmaitości, to sferyczne włóknienie związane z odciąganiem normalnej wiązki tej rozmaitości jest izomorficzne z normalnym włóknieniem Spivaka. Wynika z tego, że jeśli $włóknienie$ Spivak Dzięki konstrukcji Pontrjagina-Thoma odwrotność jest również prawdziwa.

Można to sformułować w kategoriach teorii homotopii. Przypomnij sobie $przestrzeń$$i$ dla $przestrzeń$ klasyfikującą co jest indukowane przez inkluzję ${\ Displaystyle O \ hookrightarrow G}$ i co odpowiada przyjęciu powiązanego włóknienia sferycznego wiązki wektorów. W rzeczywistości mamy sekwencję fibracji ${\ Displaystyle BO \ rightarrow BG \ rightarrow B (G/O)}$ . Normalne włóknienie Spivaka jest klasyfikowane według mapy . ${\ Displaystyle \ nu _ {X} \ okrężnica X \ rightarrow BG$ } Ma redukcję wiązek wektorowych wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle \ nu _ {X}}$ ma windę ${\ Displaystyle {\ tylda {\ nu}} _ {X} \ dwukropek X \ rightarrow BO}$ . $_$ kompozycja zero

Zauważ, że grupy homotopii $niektórych$ znane w pewnych niskich wymiarach i nie są trywialne, co sugeruje możliwość, że powyższy warunek może się $X}$$\$ . W rzeczywistości istnieją takie skończone kompleksy Poincarégo, a pierwszy przykład uzyskali Gitler i Stasheff , dając w ten sposób przykład kompleksu Poincarégo, który nie jest homotopią równoważną rozmaitości.

2.' Relatywizując powyższe rozważania otrzymujemy (nienaturalną) bijekcję

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X) \ kong [X, G / O].}$

Różne kategorie

Powyższa bijekcja daje $aw$ abelowej, ponieważ przestrzeń $.$ rzeczywistości przestrzeń pętli, więc normalne niezmienniki są zerową grupą kohomologii niezwykłej teorii kohomologii zdefiniowanej przez tę nieskończoną przestrzeń pętli. Zauważ, że podobne idee mają zastosowanie w innych kategoriach rozmaitości, a jedna ma bijekcje

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (X) \ kong [X, G / O]}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {PL} (X) \ cong [X, G / PL]}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {GÓRA} (X) \ kong [X, G / GÓRA].}$

Powszechnie wiadomo, że spacje

${\ Displaystyle G/O}$${\ Displaystyle G/PL}$ i ${\ Displaystyle G/TOP$ }

nie są wzajemnie równoważne homotopii, a zatem otrzymuje się trzy różne teorie kohomologii.

$G/TOP$$Displaystyle$ przypadki i } Pokazał, że przestrzenie te posiadają alternatywne struktury przestrzenne z nieskończoną pętlą, które w rzeczywistości są lepsze z następującego punktu widzenia: Przypomnijmy, że istnieje mapa przeszkód chirurgicznych od normalnych niezmienników do grupy L. Przy opisanej powyżej strukturze grup na niezmiennikach normalnych ta mapa NIE jest homomorfizmem. Jednak ze strukturą grupową z twierdzenia Sullivana staje się homomorfizmem w kategoriach ${\ Displaystyle CAT = PL}$ i ${\ Displaystyle TOP}$ . Jego twierdzenie również łączy te nowe struktury grupowe z dobrze znanymi teoriami kohomologii: kohomologią pojedynczą i rzeczywistą teorią K.

•   Browder, William (1972), Chirurgia na prosto połączonych rozmaitościach , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR 0358813
• Gitler, Samule; Stasheff, James D. (listopad 1965), „Pierwsza egzotyczna klasa BF”, Topologia , 4 (3): 257–266, doi : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90010-8
• Lück, Wolfgang (2002), Podstawowe wprowadzenie do teorii chirurgii (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, of the school „High-wymiarowa teoria rozmaitości” w Trieście, maj/czerwiec 2001, Abdus Salam International Center for Theoretical Fizyka, Triest 1-224
•     Ranicki , Andrew (2002), Chirurgia algebraiczna i geometryczna , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886 -0 , panie 2061749
•     Wall, CTC (1999), Chirurgia na zwartych rozmaitościach , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 69 (wyd. 2), Providence, RI: American Mathematical Society , CiteSeerX 10.1.1.309.8451 , doi : 10.1090/surv/069 , ISBN 978-0-8218-0942-6 , MR 1687388