Przypuszczenie Farrella-Jonesa

W matematyce hipoteza Farrella-Jonesa , nazwana na cześć F. Thomasa Farrella i Lowella E. Jonesa , stwierdza, że ​​​​niektóre mapy składania są izomorfizmami . Mapy te podane są jako pewne homomorfizmy .

Motywacją jest zainteresowanie celem montażu map; może to być na przykład algebraiczna teoria K pierścienia grupowego

${\ Displaystyle K_ {n} (RG)}$

lub L-teoria pierścienia grupowego

${\ Displaystyle L_ {n} (RG)}$ ,

gdzie G jest jakąś grupą .

Źródłem map składania jest ekwiwariantna teoria homologii oceniana w przestrzeni klasyfikacyjnej G w odniesieniu do rodziny praktycznie cyklicznych podgrup G . Zakładając więc, że hipoteza Farrella-Jonesa jest prawdziwa, możliwe jest ograniczenie obliczeń do praktycznie cyklicznych podgrup, aby uzyskać informacje o skomplikowanych obiektach, takich jak ${\ Displaystyle K_ {n} (RG)}$ lub ${\ Displaystyle L_ {n} (RG)}$ .

$\ Displaystyle K_$ Bauma -Connesa formułuje podobne stwierdzenie dla topologicznej teorii K grupy zredukowanej K $)$ .

Sformułowanie

Można znaleźć dla dowolnego pierścienia $ekwiwariantne$ teorie ${\ Displaystyle KR_ {*} ^ {?}, LR_ {*} ^ {?}}$ satysfakcjonujące

${\ Displaystyle KR_ {n} ^ {G} (\ {\ cdot \}) ​​\ cong K_ {n} (R [G])}$ odpowiednio ${\ Displaystyle LR_ {n} ^ {G} (\ {\ cdot \}) ​​\ cong L_ {n} (R [G]).}$

Tutaj ${\ Displaystyle R [G]}$ oznacza pierścień grupowy .

K-teoretyczna hipoteza Farrella-Jonesa dla grupy G stwierdza, że ​​​​mapa ${\ Displaystyle p: E_ {VCYC} (G) \ rightarrow \ {\ cdot \} }$ indukuje izomorfizm na homologii

${\ Displaystyle KR_ {*} ^ {G} (p): KR_ {*} ^ {G} (E_ {VCYC} (G)} \ strzałka w prawo KR_ {*} ^ {G} (\ {\ cdot \}) \cong K_{*}(R[G]).}$

Tutaj oznacza przestrzeń klasyfikującą grupy $G$ w odniesieniu do rodziny praktycznie cyklicznych podgrup , -CW , izotropowe cykliczny i dla dowolnej praktycznie cyklicznej podgrupy G zbiór punktów stałych jest kurczliwy .

L-teoretyczna hipoteza Farrella-Jonesa jest analogiczna.

Aspekty obliczeniowe

$[ sol ] {\ Displaystyle R [G]$ pierścienia grupowego jest motywowane przeszkodami żyjącymi w tych grupach (patrz na przykład przeszkoda skończoności Walla , przeszkoda chirurgiczna skręt Whiteheada ) ). Załóżmy więc, że grupa spełnia hipotezę Farrella-Jonesa dla algebraicznej teorii K. sol {\ $G}$ Załóżmy ponadto, że znaleźliśmy już model przestrzeni klasyfikacyjnej dla praktycznie cyklicznych podgrup: ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ pusty zestaw = X ^ {- 1} \ podzbiór X ^ {0} \ podzbiór X ^ {1} \ podzbiór \ ldots \ podzbiór X}$

Wybierz -pushouts i zastosuj do nich sekwencję Mayera-Vietorisa: sol {\ displaystyle $}$

${\ Displaystyle KR_ {n} ^ {G} (\ coprod _ {j \ w I_ {i}} G / H_ {j} \ razy S ^ {i-1}) \ strzałka w prawo KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{ i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$$\ Displaystyle \ rightarrow KR_ {n-1} ^ {G} (\ coprod _ { j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G /H_{j}\razy D^{i}}\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Ta sekwencja upraszcza się do:

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {j \ w I_ {i}} K_ {n} (R [H_ {j}]) \ oplus \ bigoplus _ {j \ w I_ {i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G} (X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\ Displaystyle \ rightarrow \ bigoplus _ {j \ w I_ {i }}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_ {i}}K_{n-1}(RH_{j})\dodatek KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Oznacza to, że jeśli jakakolwiek grupa spełnia pewną hipotezę izomorfizmu, można obliczyć jej algebraiczną teorię K (teorię L) tylko znając algebraiczną teorię K (teorię L) grup praktycznie cyklicznych i znając odpowiedni model dla ${\ Displaystyle E_ {VCYC} (G)}$ .

Dlaczego rodzina praktycznie cyklicznych podgrup?

Można by też spróbować wziąć pod uwagę np. rodzinę skończonych podgrup. Ta rodzina jest znacznie łatwiejsza w obsłudze. Rozważmy nieskończoną grupę cykliczną ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ . Model dla $Displaystyle E_ {FIN} (\ mathbb {Z})}$ jest dany przez rzeczywistą linię , na której $}}$${\ Displaystyle \ mathbb {$ działa swobodnie poprzez tłumaczenia. Korzystając z właściwości ekwiwariantnej teorii K, otrzymujemy

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {\ mathbb {Z}} (\ mathbb {R}) = K_ {n} (S ^ {1}) = K_ {n} (pt) \ oplus K_ {n-1} (pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

Daje rozkład Bassa-Hellera-Swana

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {\ mathbb {Z}} (pt) = K_ {n} (R [\ mathbb {Z}]) \ cong K_ {n} (R) \ oplus K_ {n-1} (R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).}$

Rzeczywiście sprawdza się, czy mapa asemblera jest dana przez inkluzję kanoniczną.

${\ Displaystyle K_ {n} (R )\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R) }$

Jest to więc izomorfizm wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle NK_ {n} (R) = 0}$$pierścieniem$ co ma miejsce, gdy jest regularnym . Więc w tym przypadku naprawdę można użyć rodziny skończonych podgrup. Z drugiej strony pokazuje to, że hipoteza izomorfizmu dla algebraicznej teorii K i rodziny skończonych podgrup nie jest prawdziwa. Trzeba rozszerzyć hipotezę na większą rodzinę podgrup, która zawiera wszystkie kontrprzykłady. Obecnie nie są znane żadne kontrprzykłady dla hipotezy Farrella-Jonesa. Jeśli istnieje kontrprzykład, należy powiększyć rodzinę podgrup do większej rodziny zawierającej ten kontrprzykład.

Dziedziczenie przypuszczeń izomorfizmu

Klasa grup, która spełnia włóknistą hipotezę Farrella-Jonesa, obejmuje następujące grupy

• grupy praktycznie cykliczne (definicja)
• grupy hiperboliczne (patrz )
• CAT(0)-grupy (patrz )
• grupy rozwiązywalne (patrz )
• mapowanie grup klas (zobacz )

Ponadto klasa ma następujące właściwości dziedziczenia:

• Zamknięte pod iloczynami skończonymi grup.
• Zamknięte w ramach podgrup.

Meta-przypuszczenia i przypuszczenia izomorfizmu włóknistego

Ustal ekwiwariantną teorię homologii ${\ Displaystyle H_ {*} ^ {?}$ } Można powiedzieć, że grupa G spełnia hipotezę $\ displaystyle E_ {F$ dla rodziny podgrup wtedy i tylko wtedy, gdy mapa wywołana projekcją mi $)$ indukuje izomorfizm na homologii:

$Displaystyle H_ {*} ^ {G} (E_ {F} (G)} \ strzałka w prawo H_ {*} ^ {G} ( \{\cdot \})}$

Grupa G spełnia hipotezę izomorfizmu włóknistego dla rodziny podgrup F wtedy i tylko wtedy, gdy dla homomorfizmu dowolnej grupy grupa H spełnia hipotezę izomorfizmu dla rodziny ${\ Displaystyle \ alfa: H \ rightarrow G}$

${\ Displaystyle \ alfa ^ {*} F: = \ {H'\ równoważnik H | \ alfa (H) \ w F \}}$ .

Od razu widać, że w tej sytuacji spełnia również hipotezę izomorfizmu włókien dla rodziny $} F}$$*$ .

Zasada przechodniości

Zasada przechodniości jest narzędziem do zmiany rodziny podgrup do rozważenia. Biorąc $\ podzbiór F '}$ uwagę dwie rodziny podgrup ${\ Displaystyle F$ . Załóżmy, ${\ Displaystyle F | _ {H}: = \ {H'\ w F | H'\ podzbiór H \}}$$włóknistego )$ grupa spełnia hipotezę izomorfizmu ( rodziny . Wtedy grupa spełnia hipotezę izomorfizmu włóknistego w odniesieniu do rodziny wtedy i $wtedy,$ gdy spełnia hipotezę izomorfizmu (włóknistego) w odniesieniu do rodziny $F'$$}$ .

Przypuszczenia izomorficzne i homomorfizmy grupowe

$F$ homomorfizm grupowy i załóżmy, że „” spełnia hipotezę izomorfizmu włóknistego dla rodziny podgrup. Wtedy również H „” spełnia hipotezę izomorfizmu włóknistego rodzina ${\ displaystyle \ alpha ^ {*} F}$ . Na $rodzina$ jeśli $jądro,$ zgadza rodziną praktycznie H .

Dla odpowiedniego $przechodniości,$ aby ponownie zredukować rodzinę.

Powiązania z innymi przypuszczeniami

Przypuszczenie Nowikowa

Istnieją również powiązania między hipotezą Farrella-Jonesa a hipotezą Novikova . Wiadomo, że jeśli jedna z poniższych map

$\ Displaystyle H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \}, L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)}$

${\ Displaystyle H_ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G), K ^ {top })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

jest racjonalnie iniekcyjny, to przypuszczenie Nowikowa zachodzi dla ${\ displaystyle G}$ . Zobacz np.

Przypuszczenie Bosta

Hipoteza Bosta (nazwana na cześć Jean-Benoît Bost ) stwierdza, że ​​mapa asemblera

${\ Displaystyle H_ { *}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{góra})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^ {1}}^{góra})=K_{*}(l^{1}(G))}$

jest izomorfizmem. Homomorfizm pierścienia indukuje mapy w K-teorii ${\ Displaystyle K_ {*} (l ^ {1} (G)} \ strzałka w prawo K_ {*} (C_ {r} (G))}$$( sol ) {\ Displaystyle l ^ {1} (G) \ rightarrow C_ {$ . Składając górną mapę złożenia z tym homomorfizmem, otrzymujemy dokładnie mapę złożenia występującą w hipotezie Bauma-Connesa .

${\ Displaystyle H_ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G), K_ {l ^ {1}} ^ {góra}) = H_ {*} ^ {G}(E_{FIN}(G),K^{góra})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{góra})=K_{*}(C_{ r}(G))}$

Hipoteza Kaplansky'ego

Hipoteza Kaplansky'ego przewiduje, że dla domeny integralnej i grupy bez skrętu jedynymi idempotentami w $]}$$R {\$$G$ są $\ displaystyle 0,1 }$ . Każdy taki idempotent $daje$ rzutowy moduł, biorąc obraz prawego mnożenia $za$$}$ . Stąd wydaje się, że istnieje związek między hipotezą Kaplansky'ego a zniknięciem ${\ Displaystyle K_ {0} (R [G])}$ . Istnieją twierdzenia dotyczące hipotezy Kaplansky'ego z hipotezą Farrella Williamsa-Jonesa (porównaj ).