Symbol operatora różniczkowego

W matematyce symbolem liniowego operatora różniczkowego jest wielomian reprezentujący operatora różniczkowego , który uzyskuje się, mówiąc z grubsza, zastępując każdą pochodną cząstkową nową zmienną. Symbol operatora różniczkowego ma szerokie zastosowanie w analizie Fouriera . W szczególności w związku z tym prowadzi to do pojęcia operatora pseudoróżnicowego . Wyrazy najwyższego rzędu symbolu, znane jako symbol główny, prawie całkowicie kontrolują jakościowe zachowanie rozwiązań równania różniczkowego cząstkowego . Liniowe eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe można scharakteryzować jako te, których głównym symbolem nigdzie nie jest zero. W badaniu hiperbolicznych i parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych zera symbolu głównego odpowiadają charakterystyce równania różniczkowego cząstkowego. W związku z tym symbol ma często fundamentalne znaczenie dla rozwiązywania takich równań i jest jednym z głównych narzędzi obliczeniowych używanych do badania ich osobliwości.

Definicja

Operatory w przestrzeni euklidesowej

Niech P będzie liniowym operatorem różniczkowym rzędu k w przestrzeni euklidesowej R ^d . Wtedy P jest wielomianem w pochodnej D — wielomianem, którego współczynniki są funkcjami o wartościach rzeczywistych zdefiniowanymi na R ^d . W wieloindeksowej ten wielomian można zapisać jako

{\ Displaystyle P = p (x, D) = \ suma _ {|\ alfa |\ równoważnik k} a _ {\ alfa} (x) D ^ {\ alfa}.}

Całkowity symbol P to wielomian p :

{\ Displaystyle p (x, \ xi) = \ suma _ {| \ alfa | \ równoważnik k} a _ {\ alfa} (x) \ xi ^ {\ alfa}.}

Symbol wiodący , znany również jako symbol główny , jest składową najwyższego stopnia p :

{\ Displaystyle \ sigma _ {P} (\ xi) = \ suma _ {|\ alfa | = k} a_ {\ alfa} \ xi ^ {\ alfa}}

i ma znaczenie później, ponieważ jest to jedyna część symbolu, która przekształca się jako tensor pod wpływem zmian w układzie współrzędnych.

Symbol P pojawia się naturalnie w związku z transformatą Fouriera w następujący sposób. Niech ƒ będzie funkcją Schwartza . Następnie przez odwrotną transformatę Fouriera,

{\ Displaystyle Pf (x) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {\ Frac {d} {2}}}} \ int \ ograniczenia _ {\ mathbf {R} ^ {d}} e ^{ix\cdot \xi}p(x,i\xi){\kapelusz {f}}(\xi)\,d\xi.}

To pokazuje P jako mnożnik Fouriera . Bardziej ogólna klasa funkcji p ( x , ξ), które spełniają co najwyżej wielomianowe warunki wzrostu w ξ, w których ta całka jest dobrze zachowana, obejmuje operatory pseudoróżniczkowe .

Wiązki wektorowe

Niech E i F będą wiązkami wektorowymi na zamkniętej rozmaitości X i załóżmy

{\ Displaystyle P: C ^ {\ infty} (E) \ do C ^ {\ infty} (F)}

jest operatorem różniczkowym rzędu ${\ displaystyle k}$ . We współrzędnych lokalnych na X mamy

{\ Displaystyle Pu (x) = \ suma _ {| \ alfa | = k} P ^ {\ alfa} (x) {\ Frac { \partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{warunki niższego rzędu}}}

gdzie $_$ wieloindeksowego α indeksów α _

Współczynniki k-tego rzędu P przekształcają ^się jako tensor symetryczny

sigma _ {P}: S ^ {k} (T ^ {*} X) \ czasami E \ do F}

dziedziną jest iloczyn tensorowy k - ^tej potęgi symetrycznej wiązki kostycznej X z E , a kodomeną jest F . Ten symetryczny tensor jest znany jako główny symbol (lub tylko symbol ) P .

Układ współrzędnych x ⁱ pozwala na lokalną trywializację wiązki kostycznej przez różniczki współrzędnych d x ⁱ , które określają współrzędne włókna ξ _i . Pod względem podstawy ramek e _μ , f _ν odpowiednio E i F , operator różniczkowy P rozkłada się na składowe

{\ Displaystyle (Pu) _ {\ nu} = \ suma _ {\ mu} P_ {\ nu \ mu} u_ {\ mu}}

na każdej sekcji u E . Tutaj P _νμ jest skalarnym operatorem różniczkowym zdefiniowanym przez

{\ Displaystyle P _ {\ nu \ mu} = \ suma _ {\ alfa} P_ {\ nu \ mu} ^ {\ alfa} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {\ alfa}}}.}

Dzięki tej trywializacji można teraz zapisać główny symbol

{\ Displaystyle (\ sigma _ {P} (\ xi) u) _ {\ nu} = \ suma _ {| \ alfa | = k} \ suma _ {\ mu} P_ {\ nu \ mu} ^ {\ alfa }(x)\xi _{\alfa }u^{\mu}.}

W przestrzeni cotangens nad ustalonym punktem x z X , symbol definiuje jednorodny wielomian stopnia k w $}$ $Displaystyle$ $T_ {x} ^ {*$ z wartościami w ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (E_ {x}, F_ {x})}$ .

Operator różniczkowy $jeśli$ eliptyczny , jego symbol jest odwracalny; to znaczy dla każdej niezerowej mapy wiązek $σ$ $kropki ,\theta )}$ $\ sigma _ {P} (\$ jest odwracalne. Na zwartej rozmaitości , z teorii eliptycznej wynika, że P jest operatorem Fredholma : ma jądro i kokernel o skończonych wymiarach.

Zobacz też

Freed, Daniel S. (1987), Geometria operatorów Diraca , s. 8, CiteSeerX 10.1.1.186.8445
Hörmander, L. (1983), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I , Grundl. Matematyka Wissenschaft., tom. 256, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8 , MR 0717035 .
Wells, RO (1973), Analiza różnicowa na złożonych rozmaitościach , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0 .